Упражнения с комплексни номера: Списък на решените въпроси и обратна връзка

Вие комплексни числа дават възможност за решаване на математически задачи, които нямат решения в набора от реални числа.

В комплексно число, написано като $\ dpi {120} z = a + bi$ , ние казваме това $\ dpi {120} до$ е истинската част, $\ dpi {120} b$ е въображаемата част и $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ това е въображаемата единица.

За изпълнение операции с комплексни числа, има някои изрази, които улесняват изчисленията. Обмисли $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ и $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Израз за добавяне между комплексни числа:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Израз на изваждане между комплексни числа:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Израз на умножение между комплексни числа:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Израз на разделение между комплексни числа:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

По-долу е даден списък на въпроси, решени с упражнения върху комплексни числа. Научете се да използвате всяка от концепциите, включващи тези числа!

Индекс

Списък на упражненията върху комплексни числа
Разрешаване на въпрос 1
Разрешаване на въпрос 2
Разрешаване на въпрос 3
Разрешаване на въпрос 4
Разрешаване на въпрос 5
Разрешаване на въпрос 6
Разрешаване на въпрос 7
Разрешаване на въпрос 8

Списък на упражненията върху комплексни числа

Въпрос 1. Разглеждайки комплексните числа $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ и $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ определете стойността на $\ dpi {120} A$ , Кога $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

instagram story viewer

Въпрос 2. Намерете стойностите на $\ dpi {120} x$ и $\ dpi {120} y$ такъв, че $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Въпрос 3. Разглеждайки комплексните числа $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ и $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , определете стойността на $\ dpi {120} A \ cdot Б$ , Кога $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ и $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Въпрос 4. Изчислете стойността на $\ dpi {120} стр$ и $\ dpi {120} q$ за какво $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Кога $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ и $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Въпрос 5. Определете стойността на $\ dpi {120} до$ за какво $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ бъде чисто въображаемо число.

Въпрос 6. Изчислете следните въображаеми единични мощности $\ dpi {120} i$ :

The) $\ dpi {120} i ^ {16}$
Б) $\ dpi {120} i ^ {200}$
° С) $\ dpi {120} i ^ {829}$
д) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Въпрос 7. Намерете решението на уравнението $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ в множеството от комплексни числа.

Въпрос 8. Определете решението на уравнението $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ в множеството от комплексни числа.

Разрешаване на въпрос 1

Ние имаме $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ и $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ и $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ и искаме да определим стойността на $\ dpi {120} A$ , Кога $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Първо, нека изчислим $\ dpi {120} 4z_3$ и $\ dpi {120} 3z_1$ , отделно:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Сега нека изчислим $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Разрешаване на въпрос 2

Искаме да намерим x и y, така че $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Чрез израз на сумата между две комплексни числа, трябва да:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Значи трябва да имаме $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ и $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Нека решим тези две уравнения, за да намерим x и y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Разрешаване на въпрос 3

Ние имаме $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ и $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ и искаме да определим стойността на $\ dpi {120} A \ cdot Б$ , Кога $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ и $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Първо изчисляваме $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Чрез израза на умножението между две комплексни числа трябва да:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Сега нека изчислим $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Следователно, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Разрешаване на въпрос 4

Искаме да изчислим стойността на $\ dpi {120} стр$ и $\ dpi {120} q$ за какво $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Кога $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ и $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Това означава да се намери $\ dpi {120} стр$ и $\ dpi {120} q$ така че:

Вижте няколко безплатни курса

Безплатен онлайн курс за приобщаващо образование
Безплатна онлайн библиотека за играчки и учебен курс
Безплатен онлайн курс по математически игри в образованието в ранна детска възраст
Безплатен онлайн курс за педагогически културни семинари

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Чрез израза на разделението между две комплексни числа трябва да:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Присъединявайки се към двете условия, трябва да имаме:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Т.е.:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Нека решим всяко от тези уравнения, започвайки с второто, което зависи само от p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Сега намираме q по другото уравнение:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Разрешаване на въпрос 5

Искаме да намерим стойността на $\ dpi {120} до$ за какво $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ бъде чисто въображаемо число.

Чисто въображаемо число е това, чиято реална част е равна на нула.

Имайки предвид израза на разделението между две комплексни числа, имаме, че:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

За да бъде това число чисто въображаемо, трябва да имаме:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

Разрешаване на въпрос 6

Чрез дефиниране на степени и комплексни числа трябва да:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Наблюдавайте модел, който се повтаря на всеки четири последователни степени: 1, i, -1 и -i.

По този начин, за да намерите резултата при всяка степен на i, просто разделете експонентата на 4. Остатъкът от делението ще бъде 0, 1, 2 или 3 и тази стойност ще бъде степента, която трябва да използваме.

The) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4, а останалото е 0.

Тогава, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .