Тригонометрични функции на полудъгата

В тригонометрични функции, синус, косинус и тангенс на половината дъга могат да бъдат получени от тригонометричните функции на двойната дъга.

Дадена дъга на мярка $\ dpi {120} \ алфа$ , двойният лък е лъкът $\ dpi {120} 2 \ alpha$ а половин лък е лъкът $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

От две формули за добавяне на дъга, имаме тригонометричните функции на двойната дъга:

Синус:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ алфа} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

косинус:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ алфа} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Допирателна:

$\ dpi {120} \ mathrm {тен (2 {\ alpha}) = тен ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {тен \, {\ alpha} + тен \, {\ alpha}} {1 - тен \, {\ alpha} \ cdot тен \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

От тези формули ще покажем формулите за половин дъга тригонометрични функции.

Тригонометрични функции на полудъгата

Един от основни отношения на тригонометрията е това:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Къде получаваме:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

заместване $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ във формулата на косинуса на двойната дъга трябва да:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Вижте няколко безплатни курса

Безплатен онлайн курс за приобщаващо образование
Безплатна онлайн библиотека за играчки и учебен курс
Безплатен онлайн курс по математически игри в образованието в ранна детска възраст
Безплатен онлайн курс за педагогически културни семинари

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Следователно: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

заместване $\ dpi {120} \ алфа$ на $\ dpi {120} \ alpha / 2$ във формулата по-горе и извличане на квадратния корен от двете страни, имаме формулата за косинус на дъга наполовина:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Забележка: Знакът във формулата ще бъде положителен или отрицателен според квадранта на половината дъга.

instagram story viewer

Сега заменя $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ във формулата на косинуса на двойната дъга трябва да:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Следователно:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

заместване $\ dpi {120} \ алфа$ на $\ dpi {120} \ alpha / 2$ във формулата по-горе и извличане на квадратния корен от двете страни, имаме формулата за синус на дъгата наполовина:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Забележка: Знакът във формулата ще бъде положителен или отрицателен според квадранта на половината дъга.

И накрая, можем да получим тангента на половината дъга, разделяйки синуса на половината на дъгата на косинуса на половината дъга:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \ алфа}}}$

Следователно формулата на половин дъга допирателна é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ алфа}}}}$

Забележка: Знакът във формулата ще бъде положителен или отрицателен според квадранта на половината дъга.

Може да се интересувате и от:

тригонометричен кръг
тригонометрична таблица
Тригонометрични съотношения
закон за греховете
косинусов закон

Паролата е изпратена до вашия имейл.

Тригонометрични функции на полудъгата

Тригонометрични функции на полудъгата

Упражнения по колониална Бразилия

Прости упражнения за интерес

Периметър от плоски фигури