НА Характеризира се уравнение от 2-ра степен за един многочлен от степен 2, тоест полином от тип ax2+ bx + c, където The, Б. и ° С те са реални числа. Когато решаваме уравнение от степен 2, ние се интересуваме от намирането на стойности за неизвестното. х което прави стойността на израза равна на 0, които се наричат корени, тоест ax2 + bx + c = 0.
Прочетете и вие: Различия между функция и уравнение
Видове уравнения от 2-ра степен
Уравнението от 2-ра степен може да бъде представено от ax² + bx + c = 0, където коефициентите The, Б. и ° С са реални числа, с The ≠ 0.
→ Примери
а) 2x2 + 4х - 6 = 0 → a = 2; b = 4 и c = - 6
б) х2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 и c = 2
в) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0.5; b = 1 и c = -1
Уравнението от 2-ра степен е класифицирано като завършен когато всички коефициенти са различни от 0, т.е. The ≠ 0, Б. ≠ 0 и ° С ≠ 0.
Уравнението от 2-ра степен е класифицирано като непълна когато стойността на коефициентите Б. или ° С са равни на 0, т.е. b = 0 или c = 0.
→ Примери
а) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 и c = - 4
б) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 и c = 0
в) х2 = 0 → a = 1; b = 0 и c = 0
Внимание: стойността на коефициента The никога не е равно на 0, ако това се случи, уравнението вече не е 2-ра степен.
Как да решим уравнения от 2-ра степен?
Решението на уравнение от 2-ра степен възниква, когато корени са намерени, т.е. стойностите, присвоени на х. Тези стойности на х трябва да направи равенството вярно, тоест чрез заместване на стойността на х в израза резултатът трябва да е равен на 0.
→ Пример
Като се има предвид уравнението x2 - 1 = 0 имаме, че x ’= 1 и x’ ’= - 1 са решения на уравнението, тъй като замествайки тези стойности в израза, имаме истинско равенство. Виж:
х2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 и (–1)2 – 1 = 0
За да намерите решението на a уравнение, необходимо е да се анализира дали уравнението е пълно и непълно и да се избере кой метод ще се използва.
Метод на решение за уравнения от тип брадва²+ c = 0
Методът за определяне на решението на непълни уравнения, които имат Б.=0се състои в изолиране на неизвестното х, поради това:
→ Пример
Намерете корените на уравнението 3x2 – 27 = 0.
Ако искате да научите повече за този метод, отидете на: 2-ра степен непълно уравнение с нулев коефициент b.
Метод на решение за уравнения от тип брадва2 + bx = 0
Методът за определяне на възможните решения на уравнение с ° С = 0, се състои в използването на факторинг на доказателства. Виж:
брадва2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Когато се разглежда последното равенство, се забелязва, че има умножение и че за да бъде резултатът 0, е необходимо поне един от факторите да е равен на 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 или брадва + b = 0
По този начин решението на уравнението се дава от:
→ Пример
Определете решението на уравнението 5 пъти2 - 45x = 0
Ако искате да научите повече за този метод, отидете на: непълно уравнение 2-ра степен с нулев коефициент c.
Метод на решение за пълни уравнения
Методът, известен като Метод на Баскара или Формула на Bhaskara посочва, че корените на уравнение от 2-ра степен от тип ax2 + bx + c = 0 се дава от следната връзка:
→ Пример
Определете решението на уравнението х2 - x - 12 = 0.
Имайте предвид, че коефициентите в уравнението са: a = 1; Б.= - 1 и ° С = – 12. Замествайки тези стойности във формулата на Bhaskara, имаме:
Делтата (Δ) е кръстена на дискриминиращ и забележете, че е вътре в a корен квадратен и, както знаем, като се вземат предвид реалните числа, не е възможно да се извлече квадратният корен от отрицателно число.
Знаейки стойността на дискриминанта, можем да направим някои твърдения относно решението на уравнението от 2-ра степен:
→ положителен дискриминант (Δ> 0): две решения на уравнението;
→ дискриминант, равен на нула (Δ = 0): решенията на уравнението се повтарят;
→ отрицателен дискриминант (Δ <0): не признава реално решение.
Системи за уравнения от втора степен
Когато разглеждаме едновременно две или повече уравнения, имаме a система от уравнения. Решението на система с 2 променливи е набор от подредени двойки което едновременно удовлетворява всички участващи уравнения.
→ Пример
Помислете за системата:
Със стойностите: x ’= 2, x’ ’= - 2 и y’ = 2, y ’’ = - 2 можем да съберем подредени двойки, които едновременно удовлетворяват системните уравнения. Вижте: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Спомнете си, че подредената двойка е написана във формата (x, y).
Методите за намиране на решение на система от уравнения са подобни на тези на линейни системи.
→ Пример
Помислете за системата:
От уравнението x - y = 0, нека изолираме неизвестното х, поради това:
x - y = 0
x = y
Сега трябва да заместим изолираната стойност в другото уравнение, като това:
х2 - x –12 = 0
у2 - y –12 = 0
Използвайки метода на Bhaskara, трябва да:
Тъй като x = y, ще имаме x ’= y’ и x ’’ = y ’’. Т.е.:
x ’= 4
x ’’ = -3
По този начин подредените двойки са решения на системата (4, 4) и (- 3, - 3).
Прочетете още: Система от уравнения от 1-ва и 2-ра степен
Решени упражнения
Въпрос 1 - (ESPM -SP) Решенията на уравнението по-долу са две числа
а) братовчеди.
б) положителен.
в) отрицателен.
г) двойки.
д) нечетен.
Решение
Знаем, че знаменателите на дроб не могат да бъдат равни на нула, така че x ≠ 1 и x ≠ 3. И тъй като имаме равенство на дроби, можем да умножаваме кръстосано, като получаваме:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
х2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
х2 - 3 пъти2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Разделяйки двете страни на уравнението на 2, имаме:
х2 - 4x - 5 = 0
Използвайки формулата на Bhaskara, следва, че:
Обърнете внимание, че корените на уравнението са нечетни числа.
Алтернатива д.
въпрос 2 - (UFPI) Птицевъд установи, че след поставянето на (n +2) птици във всеки от n наличните разсадници, ще остане само една птица. Общият брой на птиците, за всяка естествена стойност на n, е винаги
а) четно число.
б) нечетно число.
в) перфектен квадрат.
г) число, делимо на 3.
д) просто число.
Решение
Броят на птиците може да се намери, като броят на волиерите се умножи по броя на птиците, поставени във всяка една. от тях, според изявлението на упражнението след извършване на този процес все още е останала една птица, можем да напишем всичко това по-долу начин:
n · (n + 2) +1
Извършвайки разпределителността, ще получим:
не2 + 2n +1
И като факторизираме този полином, следва, че:
(n + 1)2
По този начин общият брой птици винаги е перфектен квадрат за всяко естествено число n.
Алтернатива C
от Робсън Луиз
Учител по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
