Тригонометрия е дума от гръцки произход, която се отнася до мярката от три ъгъла. Изследванията в тази област на математиката се фокусират върху триъгълници, които са многоъгълници, които имат три страни и следователно три ъгъла. Отначало тригонометрия той се занимава с изучаване на някои свойства и връзки на правоъгълни триъгълници, за да свърже по-късно измерванията на страните на триъгълниците с измерванията на ъглите.
Тези свойства и връзки се разширяват до всякакви триъгълници чрез теореми, известни като закон за греховете и косинусов закон. По-късно някои от тези резултати се наблюдават в триъгълници, чиито страни са забележими сегменти от кръг, който е известен като „тригонометричен кръг“.
НА тригонометрия предлага голяма новост. Преди него беше възможно да се разглеждат само изчисления и свойства, включващи изключително страни или изключително ъгли на триъгълник или основни връзки между тези елементи. След пристигането му е възможно директно да се свържат измерванията на страните на триъгълника с измерването на един от ъглите му. Забележително е, че връзките между забележимите страни и сегменти в триъгълника също съставляват
тригонометрия.Преди да се задълбочите в концепцията за тригонометрия, Важно е да знаете кои са най-важните елементи в правоъгълен триъгълник. Тези елементи са изложени по-долу:
Елементи на правоъгълен триъгълник
Всеки правоъгълен триъгълник може да бъде подразделен на два други правоъгълни триъгълника, както е показано на фигурата по-долу, проследявайки височината „h“ спрямо основата „a“.
Височината на този правоъгълен триъгълник образува два ъгъла от 90 ° със своята основа
Като се има предвид триъгълник ABD, правоъгълник в B, е възможно да се наблюдават следните елементи:
1 - Страните AB и BD се наричат страни и техните измервания са съответно c и b;
2 - Страната на AD се нарича хипотенуза и нейното измерване е a. Тази страна винаги ще бъде срещу ъгъла 90 °;
3 - BE е височината на триъгълник ABD спрямо база AD и измерването му е h. (като се помни, че височината винаги образува ъгъл от 90 ° с основата спрямо нея);
4 - AE е ортогоналната проекция на AB крака над хипотенузата. Мярката му е m;
5 - ED е ортогоналната проекция на BD крака над хипотенузата. Измерването му е n.
След това представяме и обсъждаме някои свойства, наблюдавани в тригонометрията, въз основа на елементите на правоъгълния триъгълник, изложени по-горе.
Метрични отношения в десния триъгълник
Те са равенства, които свързват страни, височина и ортогонални проекции на правоъгълен триъгълник:
1) в2 = средно
2) b · c = a · h
3) з2 = m · n
4) б2 = не
5) на2 = b2 + c2 (Питагорова теорема)
Тригонометрични съотношения или съотношения в правоъгълния триъгълник
Тези равенства свързват съотношенията между страните на правоъгълен триъгълник с един от острите му ъгли. За да направите това, е необходимо да фиксирате един от двата ъгъла и да наблюдавате в правоъгълния триъгълник определенията на противоположната страна и съседната страна:
Правоъгълник триъгълник, подчертаващ ъгъл α
BD е противоположен крак до ъгъл α;
AB е съседен крак до ъгъл α.
Това са предпоставките за определяне на тригонометрични съотношения. Те са:
→ Синус от α
sin α = Катет срещу α
Хипотенуза
→ Косинус от α
cos α = Катето в съседство с α
Хипотенуза
→ Тангенс на α
tg α = Катет срещу α
Катето в съседство с α
Тези причини се отнасят за всеки правоъгълен триъгълник който има остър ъгъл, равен на α. Резултатът от тези деления винаги е един и същ, независимо от дължината на страната на триъгълника, като два триъгълника, които имат два равни ъгъла, поради триъгълник подобие ъгъл-ъгъл, имат пропорционални страни. Оттук следва, че съотношението между страните е равно.
тригонометричен кръг
Наричан още тригонометричен цикъл или тригонометричен кръг (по-правилни, но по-рядко срещани имена), той е ориентиран кръг с радиус 1. На тази обиколка, a правоъгълен триъгълник, чийто ъгъл α съвпада с началото, така че височината на този триъгълник преминава от оста на абсцисата до ръба на окръжността.
Тази височина съвпада със стойността на синус, защото това е противоположната страна на ъгъл α. Мярката, която преминава от точката, където височината отговаря на оста на абсцисата до началото, съвпада със страната, съседна на ъгъл α, т.е. със стойността на косинус.
Тези съвпадения се случват, защото хипотенузата винаги е 1, тъй като това е радиусът на окръжността. Обърнете внимание на тези свойства на изображението по-долу:
Кръг с радиус 1, върху който е поставен правоъгълен триъгълник за оценка на неговите свойства
Какъвто и да е правоъгълният триъгълник, конструиран върху този кръг, страната, която съвпада с част на оста на абсцисата измерва точно косинусната стойност на α, а другата страна измерва точно синус от α.
Тригонометрични функции
Използвайки тригонометричния кръг, е възможно да се дефинира тригонометрични функции които свързват всеки елемент от множеството реални числа с един елемент също от множеството реални числа. Тези числа обаче се изразяват в радиани, което е мерна единица като функция от използваното π, защото след 360 ° в тригонометричен кръг, преброяването на градуси и следователно на домейна и елементите на домейна на функция, базирана на него, може да бъде рестартирано от нула.
фундаментални взаимоотношения
Основните връзки на тригонометрията са:
1) Основни отношения 1
Сен2α + cos2α = 1
2) тангенс на α
tg α = sin α
cos α
3) Котангенс на α, което е обратното на допирателната на α
котг α = cos α
sin α
4) Секант на α, което е обратното на косинуса на α
сек α = 1
cos α
5) Cossecant на α, което е обратното на синуса на α
cossec α = 1
sin α
6) Възникнала връзка 1
tg2α + 1 = сек2α
7) Връзка 2
котг2α + 1 = cossec2α
8) Повтаряща се връзка 3
котг α = 1
tg α
От Луис Пауло Морейра
Завършва математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm