НА ■ площ никой твърдогеометрични може да се получи чрез сумата от площите на всяка една от геометричните фигури, които я съставят. Например тетраедър е a пирамида от триъгълна основа. Тази пирамида се формира от четири триъгълници: една основа и три странични лица. Събирайки площите на всеки от тези триъгълници заедно, получаваме площта на тетраедъра.
Правилен тетраедър отдясно и равнината му отляво
По-долу са формулите, използвани за изчисляване на площта на някои геометрични тела и примери за тяхното използване.
калдъръмена площ
Помислете за a павета чиято дължина измерва "x", ширината измерва "y", а височината измерва "z", както е показано на следващата фигура:
Формулата, използвана за изчисляване на вашия ■ площ é:
A = 2xy + 2yz + 2xz
Същата формула се отнася за площ на куб, което е частен случай на павета. Тъй като обаче всички ръбове на куба са еднакви, този формула Може да бъде намален. По този начин площта на куб на ръба L се определя от:
A = 6L2
Пример 1
каква е площта на a блокправоъгълна с дължина и ширина, равна на 10 см и височина, равна на 5 см?
Тъй като дължината = ширината = 10 см, ще имаме х = 10 и у = 10. Тъй като височината = 5 см, ще имаме z = 5. Използвайки формулата за паралелепипедната област, ще имаме:
A = 2xy + 2yz + 2xz
A = 2 · 10 · 10 + 2 · 10 · 5 + 2 · 10 · 5
А = 200 + 100 + 100
H = 400 cm2
Пример 2
Каква е площта на куб, чийто ръб е с размери 10 см?
A = 6L2
A = 6 · 102
A = 6 · 100
В = 600 см2
Площ на цилиндъра
предвид цилиндър на радиус r и височина h, илюстрирано от фигурата по-долу, a формула използва се за изчисляване на ■ площ é:
A = 2πr (r + h)
Пример 3
Определете ■ площ на цилиндър, чиято височина е 40 cm, а диаметърът е 16 cm. Помислете за π = 3.
по дяволите кръг е равно на половината от диаметъра му (16: 2 = 8). По този начин радиусът на основата на цилиндъра е равен на 8 cm. Просто заменете тези стойности във формулата:
A = 2πr (r + h)
A = 2 · 3 · 8 (8 + 40)
A = 2 · 3 · 8 · 48
A = 6 · 384
H = 2304 cm2
площ на конуса
Формулата, използвана за определяне на площ на конуса é:
A = πr (r + g)
Следващата фигура показва, че r е радиусът на конуса, а g е мярката на неговата образуваща.
Пример 4
изчислете ■ площ никой конус чийто диаметър е 24 cm и чиято височина е 16 cm. Помислете за π = 3.
За да откриете мяркадавагенератор на конуса, използвайте следния израз:
ж2 = r2 + h2
Тъй като радиусът на конуса е равен на половината от диаметъра му, мярката на радиуса е 24: 2 = 12 cm. Заменяйки стойностите в израза, ще имаме:
ж2 = r2 + h2
ж2 = 122 + 162
ж2 = 144 + 256
ж2 = 400
g = √400
g = 20 cm
Замяна на радиуса на конуса и измерващата генерация в формула в ■ площ, ще имаме:
A = πr (r + g)
A = 3 · 12 (12 + 20)
A = 36 · 32
В = 1152 см2
сфера област
Формулата, използвана за изчисляване на сфера област на радиус r е:
A = 4πr2
Пример 5
Изчислете площта на сферата в следващото изображение. Помислете за π = 3.
Използвайки формуладава■ площ дава топка, ще имаме:
A = 4πr2
A = 4 · 3 · 52
A = 12,25
H = 300 cm2
Област на пирамидата
Вие призми и пирамиди нямате формуласпецифични за изчисляване ■ площ, тъй като формата на страничните му лица и основите му е много променлива. Винаги обаче е възможно да се изчисли площта на геометрично твърдо вещество, като се сплеска и се добавят отделните области на всяка от лицата му.
Когато тези твърди вещества са прави, като призматаправ и пирамидаправ, възможно е да се идентифицира отношения между мерки на страничните му лица.
Вижте също:Изчисляване на площта на една призма
Пример 6
Едно пирамида прав с квадратна основа има апотема, равна на 10 cm и основен ръб, равен на 5 cm. Коя е вашата област?
За да разрешите този пример, погледнете изображението на пирамидата по-долу:
Правата пирамида с квадратна основа има всички странични лица еднакви. Така че, просто изчислете площта на един от тях, умножете резултата по 4 и добавете това към резултата, получен при изчисляването на площ на основата на пирамидата.
За да изчислим площта на един от тези триъгълници, ни е необходима мярката за неговата височина. Тази мярка е равна на апотемата на пирамидата, следователно 10 cm. В следващата формула апотемата ще бъде представена с буквата h. Освен това всички основи на триъгълници са конгруентни, тъй като те са всички страни на a квадрат и измерете 5 cm.
Площ на страничното лице:
A = bh
2
A = 5·10
2
A = 50
2
В = 25 см2
Площ на четирите странични лица:
A = 4,25
H = 100 cm2
Основна площ (която е равна на площта на квадрат):
A = 12
A = 52
В = 25 см2
Обща площ на тази пирамида:
A = 100 + 25 = 125 cm2
зона на призмата
Както беше посочено, няма конкретна формула за зоната на призмата. Трябва да изчислим площта на всяко от нейните лица и да ги съберем в края.
Пример 7
Какво е зона на призмата права основа квадрат, знаейки, че височината на това твърдо вещество е 10 cm и че ръбът на основата му е 5 cm?
Решение:
По-долу вижте изображение на въпросната призма, за да помогнете за изграждането на решението:
Упражнението информира, че базанапризмата това е квадрат. Освен това, двете основи на призмата са конгруентни, тоест намирането на площта на една от тези основи, просто умножете това измерване по 2, за да определите площта на двете основи на призмата.
НАБ. = 12
НАБ. = 52
НАБ. = 25 см2
Освен това, тъй като има квадратна основа, е лесно да се види, че има четирилицастрани, които също са конгруентни, тъй като твърдото тяло е прави. Така че, намирането на площта на една от страничните повърхности, просто умножете тази стойност по 4, за да намерите страничната площ на призмата.
НАет = b · h
НАет = 5·10
НАет = 50 см2
НАтам = 4Ает
НАтам = 4·50
НАтам = 200 см2
НА ■ площобща суманапризмата é:
A = AБ. + Атам
A = 25 + 200
В = 225 см2
От Луис Пауло Силва
Степен по математика
Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-solidos-geometricos.htm