Дисперсионни мерки: дисперсия и стандартно отклонение

В изследването на Статистика, имаме някои стратегии, за да проверим дали стойностите, представени в набор от данни, са разпръснати или не и колко далеч могат да бъдат. Инструментите, използвани за това, са класифицирани като дисперсионни мерки и се обади отклонение и стандартно отклонение. Нека видим какво представлява всеки от тях:

Отклонение:

• Като се има предвид набор от данни, дисперсията е мярка за дисперсия, която показва колко далеч е всяка стойност в този набор от централната (средна) стойност.

• Колкото по-малка е дисперсията, толкова по-близки са стойностите до средната стойност; но колкото по-голям е той, толкова по-далеч са стойностите от средната стойност.

• Помислете за това х₁, х₂, …, х_нете са не елементи на a проба е това X и средната аритметична стойност на тези елементи. Изчисляването на дисперсия на пробата Дава се от:

  Var. проба = (х₁ – х) ² + (x₂ – х) ² + (x₃ – х)² +... + (x_не – х)²
  ​n - 1

• Ако, от друга страна, искаме да изчислим дисперсия на популацията, ще разгледаме всички елементи на популацията, а не само извадка. В този случай изчислението има малка разлика. Гледам:

  Var. население = (х₁ – х) ² + (x₂ – х) ² + (x₃ – х)² +... + (x_не – х)²
  не

Стандартно отклонение:

• Стандартното отклонение е в състояние да идентифицира „грешката“ в набор от данни, ако искахме да заменим една от събраните стойности със средната аритметична стойност.

• Стандартното отклонение се появява до аритметичната средна стойност, като информира колко „надеждна“ е тази стойност. Той е представен по следния начин:

  средно аритметично (х) ± стандартно отклонение (sd)

• Изчисляването на стандартното отклонение се извършва от положителния квадратен корен на дисперсията. Следователно:

  dp = √var

Нека сега приложим изчислението на дисперсията и стандартното отклонение в пример:

В едно училище бордът реши да разгледа броя на учениците, които имат всички оценки над средните по всички предмети. За да го анализира по-добре, директорът Ана реши да събере таблица с количеството „сини“ оценки в извадка от четири класа в продължение на една година. Вижте таблицата, организирана от директора:

Преди да изчислите дисперсията, е необходимо да проверите средно аритметично(х) броят на учениците над средния клас във всеки клас:

6-та година → х = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7-ма година → х = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8-ма година → х = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9-та година → х = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

За да изчислим дисперсията на броя на учениците над средното за всеки клас, използваме a проба, затова използваме формулата на дисперсия на пробата:

Var. проба = (х₁ – х) ² + (x₂ – х) ² + (x₃ – х)² +... + (x_не – х)²
n - 1

6-та година → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4.33

7-ма година → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8.00

8-ма година → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6.91

9-та година → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

След като е известна дисперсията на всеки клас, нека сега изчислим стандартното отклонение:

6-та година dp = √var dp = √4,33 ​dp ≈ 2,08

7-ма година dp = √var dp = √8,00 ​dp ≈ 2,83

8-ма година dp = √var dp = √6.91 ​dp ≈ 2,63

9-та година dp = √var dp = .613,66 ​dp ≈ 3,70

В заключение на анализа си директорът може да представи следните стойности, които показват средния брой ученици над средния за анкетирания клас:

6-та година: 7,50 ± 2,08 ученици над средното за срок;
7-ма година: 8,00 ± 2,83 ученици над средното за два месеца;
8-ма година: 8,75 ± 2,63 ученици над средното за два месеца;
9-та година: 8,50 ± 3,70 ученици над средното за два месеца;

Друга мярка за дисперсия е коефициент на вариация. Виж тук как да го изчислим!

От Аманда Гонсалвес
Завършва математика

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm