Теоремата на Д'Аламбер

Теоремата на Д'Аламбер е непосредствена последица от теоремата за остатъка, която се занимава с разделянето на полином на бином от тип x - a. Теоремата за остатъка казва, че полином G (x), разделен на бином x - a, ще има остатък R, равен на P (a), за
x = a. Френският математик Д'Аламбер доказа, като взе предвид цитираната по-горе теорема, че е полином всяко Q (x) ще се дели на x - a, т.е. остатъкът от делението ще бъде равен на нула (R = 0), ако P (a) = 0.
Тази теорема улесни изчисляването на делението на полинома на бином (x –a), така че не е необходимо да се решава цялото деление, за да се знае дали остатъкът е равен или различен от нула.
Пример 1
Изчислете остатъка от делението (x² + 3x - 10): (x - 3).
Както казва теоремата на Д'Аламбер, остатъкът (R) от това деление ще бъде равен на:
P (3) = R
3² + 3 * 3 - 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Така че останалата част от това разделение ще бъде 8.
Пример 2
Проверете дали x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 се дели на x - 1.
Според D’Alembert, полином се дели на бином, ако P (a) = 0.

P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
Р (1) = 3 - 4
P (1) = - 1
Тъй като P (1) не е нула, полиномът няма да се дели на бином x - 1.
Пример 3
Изчислете стойността на m, така че остатъкът от делението на полинома
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 по x - 2 е 6.
Имаме това, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
Р (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2 - 3 = 6
- 8m = 6 - 38 + 3
- 8м = 9 - 38
- 8м = - 29
m = 29/8
Пример 4
Изчислете остатъка от делението на 3x полинома³ + x² - 6x + 7 на 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

от Марк Ной
Завършва математика
Училищен отбор на Бразилия

Многочлени - Математика - Бразилско училище

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm