Подреждане с повторение: какво е това, формула, примери

Ние знаем как повторно подреждане или пълно подреждане, всички подредени прегрупирания, с които можем да формираме к елементи на набор с не елементи, с елемент на не може да се появи повече от веднъж. НА комбинаторен анализ областта на математиката разработва техники за броене, за да се намери броят на възможните клъстери в определени ситуации.

Сред тези групировки има подреждането с повторение, присъстващо например в създаване на пароли, регистрационни табели, между други. За да разрешим тези ситуации, ние прилагаме формулата за подреждане с повторение като техника за броене. Има различни формули за изчисляване на повтарящата се подредба и неповтарящата се подредба, така че е важно да знаете как да разграничите всяка от тези ситуации, за да приложите правилната техника на преброяване.

Прочетете също: Основен принцип на броенето - основна концепция на комбинаторния анализ

Какво е подреждането с повторение?

Има споразумение с повторение при производството на автомобилни табели. [1]

В нашето ежедневие се натъкваме на ситуации, които включват последователности и групировки, които се появяват в изберете пароли от социалните мрежи или от банка, а също и в телефонни номера или ситуации, които включват опашки. Така или иначе сме заобиколени от ситуации, които включват тези групировки.

Например на регистрационните табели, които са съставени от три букви и четири цифри, има уникален низ по състояние, който идентифицира всеки от автомобилите, в този случай работим договорености. Когато е възможно да се повтарят елементите, ние работим с пълната аранжировка или аранжировка с повторение.

Даден набор с не елементи, познаваме като подреждане с повторение всички групи, с които можем да се сформираме к елементи от това комплект, където елемент може да се повтори повече от веднъж. Например на регистрационните номера на превозните средства това е броят на възможните регистрационни номера, които можем да формираме, като вземем като се има предвид, че те имат три букви и четири цифри и че буквите и цифрите могат да се повтарят.

За да изчислим броя на възможните повтарящи се договорености, използваме много проста формула.

Формула на аранжимент с повторение

За да намерите пълния размер на договореността от не отделни елементи, взети от к в

о, в дадена ситуация, която позволява повторение на елемент, използваме следната формула:

ВЪЗДУХ_не,_к = не^к

AR → подреждане с повторение
не → брой елементи в набора
к → брой елементи, които ще бъдат избрани

Вижте също: Проста комбинация - преброяване на всички подмножества от даден набор

Как да изчислим номера на повтарящото се споразумение

За да разберете по-добре как да приложите формулата за повторно подреждане, вижте примера по-долу.

Пример 1:

Банковата парола има пет цифри, съставени изключително от цифри, какъв е броят на възможните пароли?

Знаем, че паролата е петцифрен низ и че няма ограничение за повторения, затова ще приложим формулата за подреждане с повторение. Потребителят трябва да избере измежду 10 цифри, които ще съставят всяка от петте цифри на тази парола, т.е. искаме да изчислим подредбата с повторение на 10 елемента, взети на всеки пет.

ВЪЗДУХ_10,5 = 10⁵ = 10.000

Така че има 10 000 възможности за парола.

Пример 2:

Знаейки, че регистрационните номера на превозните средства са съставени от три букви и четири цифри, колко регистрационни номера е възможно да се оформят?

Нашата азбука се състои от 26 букви и има 10 възможни числа, така че нека се разделим на два пълни масива и да намерим броя на възможните масиви за буквите и цифрите.

ВЪЗДУХ_26,3 = 26³ = 17.576
ВЪЗДУХ₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

По този начин общият брой на възможните договорености е:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Разлика между просто подреждане и повторно подреждане

Разграничаването на простото подреждане от подреждането с повторение е от съществено значение за решаване на проблеми по темата. Важното за диференциацията е да осъзнаем, че когато се справяме със ситуация, в която има прегрупиране, чийто ред е важен, е на споразумение и ако тези прегрупирания допускат повторение между термини, това е споразумение с повторение, известно още като споразумение завършен. Когато прегрупирането не позволява повторение, това е за просто подреждане.

Формулата за простото подреждане е различна от тази, която използваме за повторната подредба.

Виждали сме примери за повтаряне на подреждането по-рано, сега вижте пример за просто подреждане

Пример:

Пауло иска да постави на рафта си три от 10-те си учебни книги, всички различни един от друг, по колко начина може да организира тези книги?

Имайте предвид, че в този случай редът е важен, но няма повторения, тъй като това е просто подреждане. За да намерим броя на възможните групировки, трябва да:

За да научите повече за тази друга форма на групиране, използвана в комбинаторния анализ, прочетете текста: НАпроста аранжировка.

Решени упражнения:

Въпрос 1 - (Enem) Банка помоли клиентите си да създадат лична шестцифрена парола, състояща се само от числа от 0 до 9, за достъп до разплащателната сметка чрез интернет. Специалист по електронни системи за сигурност обаче препоръча на ръководството на банката да пререгистрира своите потребители, като поиска всеки един от тях, създаване на нова парола с шест цифри, позволяваща сега използването на 26-те букви от азбуката, освен цифрите от 0 до 9. В тази нова система всяка главна буква се счита за различна от версията с малки букви. Освен това беше забранено използването на други видове знаци.

Един от начините да се оцени промяната в системата за пароли е да се провери коефициентът на подобрение, което е причината за новия брой възможности за парола спрямо старата. Препоръчителният коефициент на подобрение на промяната е:

Резолюция

Алтернатива А

Старата парола е масив с повторение, тъй като може да бъде съставен от всички числа, така че е масив от 10 елемента, взети на всеки шест.

ВЪЗДУХ_10,6 = 10⁶

Новата парола може да се състои от 10 цифри, а също и главни букви (26 букви) и малки букви (26 букви), така че паролата има за всяка цифра общо 10 + 26 + 26 = 62 възможности. Тъй като има шест цифри, ще изчислим подреждането с повторение на 62 елемента, взети на всеки шест.

ВЪЗДУХ_62,6 = 62⁶

НА причина от новия брой възможности за парола в сравнение със стария е равен на 62⁶/10⁶.

Въпрос 2 - (Enem 2017) Една компания ще изгради своя уебсайт и се надява да привлече аудитория от приблизително един милион клиенти. За достъп до тази страница ще ви е необходима парола с формат, който да бъде определен от компанията. Има пет опции за формат, предлагани от програмиста, описани в таблицата, където „L“ и „D“ представляват съответно главна буква и цифра.

Буквите на азбуката, сред 26-те възможни, както и цифрите, сред 10-те възможни, могат да бъдат повторени във всяка от опциите.

Компанията иска да избере опция за формат, чийто брой възможни различни пароли е по-голям от очакван брой клиенти, но този брой не надвишава два пъти очаквания брой клиенти.

Резолюция

Алтернатива Е

Чрез изчисляване на всяка от възможностите искаме да намерим паролата, която има повече от един милион възможности и по-малко от два милиона възможности.

I → LDDDDD

26 ·10⁵ е по-голям от два милиона, така че не удовлетворява искането на компанията.

II → DDDDDD

10⁶ е равен на един милион, така че не отговаря на искането на компанията.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ е по-голям от два милиона, така че не удовлетворява искането на компанията.

IV → DDDDD

10⁵ това е по-малко от милион, така че не удовлетворява искането на компанията.

V → LLLDD

26³ · 10² е между един милион и два милиона, така че този шаблон за парола е идеален.

Кредит за изображение

[1] Рафаел Берланди / Shutterstock

От Раул Родригес де Оливейра
Учител по математика

Източник: Бразилско училище - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm