المجموع والمنتج إنها طريقة تستخدم لإيجاد حلول معادلة. نستخدم المجموع والحاصل كطريقة لحساب جذور a معادلة الدرجة الثانية، من النوع ax² + bx + c = 0.
هذه طريقة مثيرة للاهتمام عندما تكون حلول المعادلة الأعداد الكلية. في الحالات التي لا تكون فيها الحلول أعدادًا صحيحة ، قد يكون من الصعب جدًا استخدام المجموع والمنتج ، مع طرق أخرى أسهل للعثور على حلول المعادلة.
اقرأ أيضا: باسكارا - الصيغة الأكثر شهرة لحل المعادلات التربيعية
ملخص حول المجموع والمنتج
- يعتبر المجموع والمنتج إحدى الطرق المستخدمة لإيجاد حلول معادلة تربيعية كاملة.
- بالمجموع والمنتج ، بالنظر إلى معادلة الفأس من الدرجة الثانية² + bx + c = 0 ، لدينا:
\ (x_1 + x_2 = - \ frac {b} {a} \)
\ (x_1 \ cdot x_2 = \ frac {c} {a} \)
- x1 إنها x2 هي حلول المعادلة التربيعية.
- أ ، ب ، ج هي معاملات معادلة الدرجة الثانية.
ما هو المجموع والمنتج؟
المجموع والمنتج إحدى الطرق التي يمكننا استخدامها لإيجاد حلول المعادلة. يمكن أن يكون المجموع والحاصل ، المستخدم في معادلات الدرجة الثانية ، طريقة أكثر عملية للعثور على حلول المعادلة ، لأنها تتكون من البحث عن الأرقام التي ترضي صيغة الجمع والحاصل في المعادلة معادلة.
صيغة الجمع والمنتج
في معادلة تربيعية ، من النوع ax² + bx + c = 0 ، مع حلول تساوي x1 و x2بالمجموع والمنتج ، لدينا:
\ (x_1 + x_2 = - \ frac {b} {a} \)
\ (x_1 \ cdot x_2 = \ frac {c} {a} \)
كيف تحسب الجذور باستخدام المجموع والحاصل؟
لإيجاد الحلول ، نبحث أولاً عن الأعداد الصحيحة التي يساوي حاصل ضربها \ (\ فارك {ج} {أ} \).
نعلم أن حلول المعادلة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة:
- المنتج الإيجابي والمبلغ الإيجابي: كلا الجذور إيجابية.
- حاصل ضرب موجب ومجموع سلبي: كلا الجذور سلبية.
- حاصل ضرب سلبي ومجموع موجب: جذر واحد موجب والآخر سالب ، والآخر ذو أكبر وحدة موجب.
- حاصل ضرب سلبي ومجموع سلبي: جذر واحد موجب والآخر سالب ، والآخر ذو أكبر وحدة سالب.
لاحقًا ، بعد سرد جميع المنتجات التي ترضي المعادلة ، نقوم بتحليل أي منها يحقق المعادلة. معادلة المجموع ، أي ما هما الرقمان اللذان يرضيان معادلة المنتج والمبلغ معًا.
مثال 1:
أوجد حلول المعادلة:
\ (س² -5 س + 6 = 0 \)
في البداية ، سنعوض في صيغة الجمع وحاصل الضرب. لدينا أن أ = 1 ، ب = -5 ، ج = 6:
\ (س_1 + س_2 = 5 \)
\ (x_1 \ cdot x_2 = 6 \)
نظرًا لأن المجموع والمنتج موجبان ، فإن الجذور موجبة. عند تحليل المنتج ، نعلم أن:
\ (1 \ cdot6 \ = \ 6 \)
\ (2 \ cdot3 \ = \ 6 \)
الآن ، سوف نتحقق من أي من هذه النتائج يحتوي على مجموع يساوي 5 ، وهو في هذه الحالة:
\(2+3=5\)
إذن ، حلول هذه المعادلة هي \ (x_1 = 2 \ و \ x_2 = 3 \).
المثال 2:
أوجد حلول المعادلة:
\ (س ^ 2 + 2 س -24 = 0 \)
أولًا ، سنعوض في صيغة الجمع وحاصل الضرب. لدينا أ = 1 ، ب = 2 ، ج = -24.
\ (x_1 + x_2 = - \ 2 \)
\ (x_1 \ cdot x_2 = - \ 24 \)
بما أن المجموع والمنتج سالبان ، فإن الجذور لها علامات متقابلة ، والجذور التي بها أكبر معامل تكون سالبة. عند تحليل المنتج ، نعلم أن:
\ (1 \ cdot (-24) = - 24 \)
\ (2 \ cdot \ يسار (-12 \ يمين) = - 24 \)
\ (3 \ cdot \ يسار (-8 \ يمين) = - 24 \)
\ (4 \ cdot \ يسار (-6 \ يمين) = - 24 \)
الآن ، دعنا نتحقق من أي من هذه النتائج له مجموع يساوي -2، وهي في هذه الحالة:
\ (4+ \ يسار (-6 \ يمين) = - 2 \)
إذن ، حلول هذه المعادلة هي \ (x_1 = 4 \ و \ x_2 = -6 \) .
اقرأ أيضا: كيفية حل معادلة غير كاملة من الدرجة الثانية
تمارين حلها على المجموع والمنتج
السؤال رقم 1
يكون ذ إنها ض جذور المعادلة 4x2-3س-1 = 0 ، قيمة 4 (y + 4) (z+4) é:
أ) 75
ب) 64
ج) 32
د) 18
هـ) 16
دقة:
البديل أ
الحساب بالمجموع والمنتج:
\ (y + z = \ frac {3} {4} \)
\ (y \ cdot z = - \ frac {1} {4} \)
لذلك علينا أن:
\ (4 \ يسار (ص + 4 \ يمين) \ يسار (ض + 4 \ يمين) = 4 (yz + 4y + 4z + 16) \)
\ (4 \ يسار (ص + 4 \ يمين) \ يسار (z + 4 \ يمين) = 4 \ يسار (- \ فارك {1} {4} +4 \ يسار (y + z \ يمين) +16 \ يمين ) \)
\ (4 \ left (y + 4 \ right) \ left (z + 4 \ right) = 4 \ left (- \ frac {1} {4} +4 \ cdot \ frac {3} {4} +16 \ يمين)\)
\ (4 \ يسار (ص + 4 \ يمين) \ يسار (ض + 4 \ يمين) = 4 \ يسار (- \ فارك {1} {4} + 3 + 16 \ يمين) \)
\ (4 \ يسار (ص + 4 \ يمين) \ يسار (ض + 4 \ يمين) = 4 \ يسار (- \ فارك {1} {4} +19 \ يمين) \)
\ (4 \ يسار (ص + 4 \ يمين) \ يسار (ض + 4 \ يمين) = 4 \ يسار (\ فارك {76-1} {4} \ يمين) \)
\ (4 \ يسار (ص + 4 \ يمين) \ يسار (z + 4 \ يمين) = 4 \ cdot \ frac {75} {4} \)
\ (4 \ يسار (ص + 4 \ يمين) \ يسار (ض + 4 \ يمين) = 75 \)
السؤال 2
النظر في المعادلة 2x2 + 8 س + 6 = 0، دع S هو مجموع جذور هذه المعادلة و P هو حاصل ضرب جذور المعادلة ، ثم قيمة العملية (S - ص)2 é:
أ) 36
ب) 49
ج) 64
د) 81
هـ) 100
دقة:
البديل ب
الحساب بالمجموع والمنتج:
\ (S = x_1 + x_2 = -4 \)
\ (P \ = \ x_1 \ cdot x_2 = 3 \)
لذلك علينا أن:
\ (\ يسار (-4-3 \ يمين) ^ 2 = يسار (-7 \ يمين) ^ 2 = 49 \)
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm
