الهندسة التحليلية: المفاهيم والصيغ الرئيسية

تدرس الهندسة التحليلية العناصر الهندسية في نظام إحداثيات في مستوى أو فضاء. يتم تحديد هذه الكائنات الهندسية من خلال موقعها وموضعها بالنسبة لنقاط ومحاور نظام التوجيه هذا.

منذ الشعوب القديمة ، مثل المصريين والرومان ، ظهرت فكرة الإحداثيات بالفعل في التاريخ. ولكن في القرن السابع عشر ، مع أعمال رينيه ديكارت وبيير دي فيرما ، تم تنظيم هذا المجال من الرياضيات.

النظام المتعامد الديكارتي

النظام الديكارتي المتعامد هو قاعدة مرجعية لتحديد الإحداثيات. يتكون ، في المستوى ، من محورين متعامدين مع بعضهما البعض.

• أصل O (0،0) لهذا النظام هو تقاطع هذه المحاور.
• المحور السيني هو المحور السيني.
• المحور y هو الإحداثي.
• الأرباع الأربعة هي اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة.

زوج مرتب

أي نقطة على المستوى لها إحداثيات P (x، y).

x هي حدود النقطة P وتشكل المسافة من إسقاطها المتعامد على المحور x إلى الأصل.
y هو إحداثي النقطة P وهي المسافة من إسقاطها المتعامد على المحور y إلى نقطة الأصل.

المسافة بين نقطتين

المسافة بين نقطتين على المستوى الديكارتي هي طول المقطع الذي يصل بين هاتين النقطتين.

صيغة المسافة بين نقطتين و أي.

إحداثيات المنتصف

نقطة المنتصف هي النقطة التي تقسم مقطعًا إلى جزأين متساويين.

يجرى منتصف الجزء ، إحداثياتها هي الوسائل الحسابية للإحداثيات والإحداثيات.

و

شرط محاذاة ثلاث نقاط

بالنظر إلى النقاط: .

ستتم محاذاة هذه النقاط الثلاث إذا كان محدد المصفوفة التالية يساوي صفرًا.

مثال

المعامل الزاوي للخط

المنحدر الخط المستقيم هو ظل ميله فيما يتعلق بالمحور السيني.

للحصول على المنحدر من نقطتين:

إذا كانت m> 0 ، يكون الخط تصاعديًا ، وإلا إذا كانت m <0 ، فسيكون الخط تنازليًا.

المعادلة العامة للخط

أين ال،ب و ç هي أعداد حقيقية ثابتة و ، ال و ب فهي ليست فارغة في نفس الوقت.

مثال

معادلة خط معرفة النقطة والميل

نقطة معينة والمنحدر .

ستكون معادلة الخط:

مثال

شكل مختزل من المعادلة المستقيمة

أين:
م هو المنحدر
ن هو المعامل الخطي.

لا يتم ترتيبها حيث يتقاطع الخط مع المحور y.

مثال

بحث معادلة الخط.

الموضع النسبي بين خطين متوازيين في المستوى

يتوازى خطان متميزان عندما تتساوى منحدراتهما.

إذا كان على التوالي ص لديه منحدر و على التوالي س لديه منحدر ، هذه موازية عندما:

لهذا ، يجب أن تكون ميولك متساوية.

الظلال متساوية عندما تكون الزوايا متساوية.

الموضع النسبي بين خطين مستقيمين متنافسين في المستوى

يتزامن خطان عندما تختلف منحدراتهما.

في المقابل ، تختلف المنحدرات عندما تختلف زوايا ميلها فيما يتعلق بالمحور x.

خطوط متعامدة

يكون الباقيان متعامدين عندما يكون حاصل ضرب ميلهما يساوي -1.

اثنين من المستقيمات ص و س، مميزة ، مع منحدرات و ، متعامدة إذا ، وفقط إذا:

أو

هناك طريقة أخرى لمعرفة ما إذا كان سطرين متعامدين من معادلاتهما في الصورة العامة.

معادلات المستقيمين r و s:

سطرين متعامدين عليها عندما:

بحث خطوط متعامدة.

محيط

المحيط هو الموضع على المستوى حيث تكون جميع النقاط P (x ، y) على نفس المسافة ص من مركزها ج (أ ، ب) ، أين ص هو قياس نصف القطر.

معادلة المحيط في شكل مختزل

أين:
ص هو نصف القطر ، المسافة بين أي نقطة على القوس والمركز. ج.
ال و ب هي إحداثيات المركز ج.

المعادلة العامة للدائرة

يتم الحصول عليها من خلال تطوير الشروط التربيعية للمعادلة المختصرة للمحيط.

من الشائع جدًا إظهار الشكل العام لمعادلة المحيط في التمارين ، والمعروف أيضًا بالشكل العادي.

مخروطي

تأتي كلمة مخروطي من مخروط وتشير إلى المنحنيات التي تم الحصول عليها عن طريق تقسيمها. القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ هي منحنيات تسمى المخروطية.

الشكل البيضاوي

Ellipse هو منحنى مغلق يتم الحصول عليه عن طريق تقسيم مخروط دائري مستقيم بواسطة مستوى مائل إلى المحور ، والذي لا يمر عبر الرأس ولا يتوازى مع مولداته.

في المستوى ، مجموعة جميع النقاط التي يكون مجموع مسافاتها إلى نقطتين داخليتين ثابتتين ثابتًا.

عناصر القطع الناقص:

• F1 و F2 هما بؤرتا القطع الناقص ؛
• 2c هو الطول البؤري للقطع الناقص. إنها المسافة بين F1 و F2 ؛
• النقطة ا إنه مركز القطع الناقص. إنها نقطة المنتصف بين F1 و F2 ؛
• A1 و A2 هي رؤوس القطع الناقص ؛
• المقطع المحور الرئيسي ويساوي 2 أ.
• المقطع المحور الثانوي يساوي 2 ب.
• غرابة حيث 0

معادلة القطع الناقص

ضع في اعتبارك النقطة P (x ، y) الموجودة في القطع الناقص حيث x هي الإحداثي و y هي إحداثيات هذه النقطة.

مركز القطع الناقص عند أصل نظام الإحداثيات والمحور الرئيسي (AA) على المحور السيني.

مركز القطع الناقص عند أصل نظام الإحداثيات والمحور الرئيسي (AA) على المحور y.

معادلة مخفضة للقطع الناقص مع محاور موازية لمحاور الإحداثيات

النظر في نقطة كأصل للنظام الديكارتي ونقطة كمركز القطع الناقص.

المحور الرئيسي AA ، موازٍ للمحور x.

المحور الرئيسي AA ، بالتوازي مع المحور y.

مقارنة مبالغ فيها

القطع الزائد عبارة عن مجموعة من النقاط على مستوى ينتج عن الفرق بين نقطتين ثابتتين F1 و F2 قيمة ثابتة وموجبة.

عناصر الغلو:

• F1 و F2 بؤرتا القطع الزائد.
• 2 ج = هو البعد البؤري.
• مركز المبالغة هو النقطة يا متوسط ​​قطاع F1F2.
• A1 و A2 هي القمم.
• 2a = A1A2 هو المحور الحقيقي أو العرضي.
• 2 ب = B1B2 هو المحور التخيلي أو المترافق.
• هو اللامركزية.

من خلال المثلث B1OA2

القطع الزائد معادلة مختزلة

مع المحور الحقيقي حول المحور x والمركز في الأصل.

مع المحور الحقيقي على المحور y والمركز في الأصل.

معادلة القطع الزائد مع محاور موازية لمحاور التنسيق

المحور الحقيقي AA موازٍ للمحور x والمركز .

المحور الحقيقي AA موازٍ للمحور y والمركز .

موعظة

القطع المكافئ هو المكان الذي تكون فيه مجموعة النقاط P (x ، y) هي نفس المسافة من النقطة الثابتة F والخط d.

عناصر المثل:

• F هو محور المثل ؛
• د هو المبدأ التوجيهي المباشر ؛
• محور التناظر هو الخط المستقيم عبر التركيز F وعمودي على الخط الإرشادي.
• V هو رأس القطع المكافئ.
• p هي قطعة من نفس الطول بين التركيز F والرأس V e ، بين الرأس والتوجيه d.

معادلات مخفضة للقطع المكافئ

مع وجود قمة في الأصل ومحور التناظر على المحور y.

إذا كان p> 0 التقعر لأعلى.
إذا كانت p <0 تقعر نزولي.

مع وجود قمة في الأصل ومحور التناظر على المحور x.

إذا كانت p> 0 تقعر إلى اليمين.
إذا كان p <0 تقعر إلى اليسار.

مع محور التناظر الموازي للمحور y والرأس .

مع محور التناظر الموازي للمحور x والرأس .

ممارسة مع تمارين في الهندسة التحليلية.

تعلم اكثر من خلال:
الخطة الديكارتية
المسافة بين نقطتين
مخروطي
حساب المعامل الزاوي