التقدم الحسابي (PA)

ال التقدم الحسابي (PA) عبارة عن سلسلة من الأرقام حيث يكون الفرق بين حدين متتاليين هو نفسه دائمًا. يسمى هذا الاختلاف الثابت بـ P.A.

وبالتالي ، بدءًا من العنصر الثاني في التسلسل وما بعده ، فإن الأرقام التي تظهر هي نتيجة مجموع الثابت مع قيمة العنصر السابق.

هذا ما يميزه عن التقدم الهندسي (PG) ، لأنه في هذا الرقم ، يتم ضرب الأرقام في النسبة ، بينما يتم إضافتها في التقدم الحسابي.

يمكن أن يكون للتقدم الحسابي عدد ثابت من المصطلحات (محدود PA) أو عدد لا نهائي من المصطلحات (لا حصر له PA).

للإشارة إلى استمرار التسلسل إلى أجل غير مسمى ، نستخدم علامات الحذف ، على سبيل المثال:

• التسلسل (4 ، 7 ، 10 ، 13 ، 16 ، ...) هو pa لانهائي.
• التسلسل (70 ، 60 ، 50 ، 40 ، 30 ، 20 ، 10) هو pa محدود.

يتم تحديد كل مصطلح من PA من خلال الموضع الذي تشغله في التسلسل ولتمثيل كل مصطلح نستخدم حرفًا (عادةً ما يكون الحرف ال) متبوعًا برقم يشير إلى موقعه في التسلسل.

على سبيل المثال ، المصطلح ال₄ في P.A (2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10) هو الرقم 8 ، لأنه الرقم الذي يحتل المركز الرابع في التسلسل.

تصنيف P.A.

وفقًا لقيمة النسبة ، يتم تصنيف التعاقب الحسابي إلى:

• ثابت: عندما تكون النسبة مساوية للصفر. على سبيل المثال: (4 ، 4 ، 4 ، 4 ، 4 ...) ، حيث r = 0.
• تزايد: عندما تكون النسبة أكبر من الصفر. على سبيل المثال: (2، 4، 6، 8،10 ...) حيث r = 2.
• تنازلي: عندما تكون النسبة أقل من صفر (15 ، 10 ، 5 ، 0 ، - 5 ، ...) ، حيث r = - 5

خصائص P.A.

الملكية الأولى:

في pa المحدود ، يكون مجموع المصطلحين على مسافة متساوية من الأطراف المتطرفة يساوي مجموع النهايتين.

مثال

الخاصية الثانية:

بالنظر إلى ثلاثة شروط متتالية من PA ، فإن الحد الأوسط سيكون مساويًا للمتوسط ​​الحسابي للمصطلحين الآخرين.

مثال

الملكية الثالثة:

في pa محدود مع عدد فردي من المصطلحات ، فإن المصطلح المركزي سيكون مساويًا للمتوسط ​​الحسابي بين المصطلحات على مسافة متساوية منه. هذه الخاصية مشتقة من الأول.

صيغة المصطلح العام

أين،

ج: مصطلح نريد حسابه
a1: الفصل الدراسي الأول من P.A.
n: موضع المصطلح الذي نريد اكتشافه
r: السبب

شرح الصيغة

نظرًا لأن نسبة PA ثابتة ، يمكننا حساب قيمتها من أي شروط متتالية ، أي:

لذلك ، يمكننا إيجاد قيمة المصطلح الثاني من PA عن طريق القيام بما يلي:

للعثور على الحد الثالث ، سنستخدم نفس الحساب:

استبدال قيمة₂، والتي وجدناها سابقًا ، لدينا:

إذا اتبعنا نفس المنطق ، فيمكننا إيجاد:

من خلال ملاحظة النتائج التي تم العثور عليها ، نلاحظ أن كل مصطلح سيكون مساويًا لمجموع الحد الأول مع حاصل ضرب النسبة في المركز السابق.

يتم التعبير عن هذا الحساب من خلال صيغة المصطلح العام لـ PA ، والذي يسمح لنا بمعرفة أي عنصر من عناصر التقدم الحسابي.

مثال

احسب الحد العاشر من P.A.: (26 ، 31 ، 36 ، 41 ، ...)

حل

أولاً ، يجب تحديد ما يلي:

ال₁ = 26
ص = 31-26 = 5
ن = 10 (الفصل العاشر).

باستبدال هذه القيم في صيغة المصطلح العام ، لدينا:

ال_لا = ال₁ + (ن - 1). ص
ال₁₀ = 26 + (10-1). 5
ال₁₀ = 26 + 9 .5
ال₁₀ = 71

لذلك ، فإن الحد العاشر من التقدم الحسابي المشار إليه يساوي 71.

صيغة المصطلح العام من أي مصطلح k

في كثير من الأحيان ، لتعريف أي مصطلح عام ، والذي نسميه an ، ليس لدينا المصطلح الأول a1 ، لكننا نعرف أي مصطلح آخر ، والذي نسميه ak.

يمكننا استخدام صيغة المصطلح العام من أي مصطلح k:

لاحظ أن الاختلاف الوحيد كان التغيير من الفهرس 1 في الصيغة الأولى إلى k في الثانية.

يجرى،

a: المصطلح n من pa (مصطلح في أي موضع n)
ak: مصطلح k-th لـ PA (مصطلح في أي موضع k)
r: السبب

مجموع شروط P.A.

للعثور على مجموع شروط PA المحدودة ، ما عليك سوى استخدام الصيغة:

أين،

س_لا: مجموع المصطلحات n الأولى من P.A.
ال₁: الفصل الأول من P.A.
ال_لا: يحتل المركز التاسع في التسلسل (مصطلح في الموضع n)
لا: موقف المدى

اقرأ أيضًا عن PA و PG.

تمرين يحل

التمرين 1

PUC / RJ - 2018

مع العلم أن الأرقام الموجودة في المتسلسلة (y ، 7 ، z ، 15) هي في تقدم حسابي ، ما قيمة مجموع y + z؟

أ) 20
ب) 14
ج) 7
د) 3.5
هـ) 2

انظر للاجابة

لإيجاد قيمة z ، يمكننا استخدام الخاصية التي تنص على أنه عندما يكون لدينا ثلاثة حدود متتالية ، فإن الحد الأوسط سيكون مساويًا للمتوسط ​​الحسابي للحدين الآخرين. اذا لدينا:

إذا كانت z تساوي 11 ، فإن النسبة ستساوي:

ص = 11-7 = 4

بهذه الطريقة ، ستساوي y:

ص = 7 - 4 = 3

لذلك:

ص + ض = 3 + 11 = 14

البديل: ب) 14

تمرين 2

المعايير الدولية لإعداد التقارير المالية - 2017

في الشكل أدناه ، لدينا سلسلة من المستطيلات ، كلها بارتفاع أ. أساس المستطيل الأول هو b والمستطيلات اللاحقة هي القيمة الأساسية للمستطيل السابق بالإضافة إلى وحدة قياس. وبالتالي ، فإن قاعدة المستطيل الثاني هي b + 1 والثالث هو b + 2 وهكذا.

النظر في البيانات أدناه.

I - تسلسل مناطق المستطيل هو تقدم حسابي للنسبة 1.
II - تسلسل مناطق المستطيل هو تطور حسابي للنسبة أ.
III - تسلسل مساحات المستطيلات هو تعاقب هندسي للنسبة a.
رابعا - مساحة المستطيل التاسع (A_لا) يمكن الحصول عليها بالصيغة أ_لا = أ. (ب + ن - 1).

تحقق من البديل الذي يحتوي على العبارة (العبارات) الصحيحة.

هناك.
ب) ثانيا.
ج) ثالثا.
د) الثاني والرابع.
هـ) الثالث والرابع.

انظر للاجابة

بحساب مساحة المستطيلات لدينا:

أ = أ. ب
ال₁ = أ. (ب + 1) = أ. ب + أ
ال₂ = أ. (ب + 2) = أ. ب. + الثاني
ال₃ = أ. (ب + 3) = أ. ب + 3 أ

من التعبيرات الموجودة ، نلاحظ أن التسلسل يشكل PA بنسبة تساوي ال. مع استمرار التسلسل ، سنجد مساحة المستطيل n ، والتي يتم توفيرها بواسطة:

ال_لا= أ. ب + (ن - 1)
ال_لا = أ. ب + أ. في

وضع ال ال كدليل لدينا:

ال_لا = أ (ب + ن - 1)

البديل: د) الثاني والرابع.

التمرين 3

UERJ

اعترف بإقامة بطولة كرة القدم التي يتم فيها تمثيل التحذيرات التي يتلقاها الرياضيون بالبطاقات الصفراء فقط. يتم تحويل هذه البطاقات إلى غرامات وفق المعايير التالية:

• أول بطاقتين تم استلامهما لا يترتب عليهما غرامة ؛
• وتترتب على البطاقة الثالثة غرامة قدرها 500.00 ريال برازيلي.
• تُنشئ البطاقات التالية غرامات تزيد قيمتها دائمًا بمقدار 500.00 ريال برازيلي بالنسبة إلى قيمة الغرامة السابقة.

يوضح الجدول الغرامات المتعلقة بالبطاقات الخمس الأولى المطبقة على رياضي.

خذ بعين الاعتبار الرياضي الذي حصل على 13 بطاقة صفراء خلال البطولة. المبلغ الإجمالي ، بالريال ، للغرامات الناتجة عن كل هذه البطاقات هو:

أ) 30000
ب) 33000
ج) 36000
د) 39000

انظر للاجابة

الإجابة الصحيحة: ب) 33000

من البطاقة الصفراء الثالثة فصاعدًا ، يزداد مبلغ الغرامة في سلطة الحسابات بنسبة 500.00 ريال برازيلي. بالنظر إلى المصطلح الأول a1 بقيمة البطاقة الثالثة 500.00 ريال برازيلي.

لتحديد المبلغ الإجمالي للغرامات ، يجب علينا استخدام صيغة مجموع شروط قانون العمل.

نظرًا لأن اللاعب لديه 13 بطاقة صفراء ، لكن أول بطاقتين لا يوقعان غرامات ، فسنحصل على شهادة محاسبة من 13 إلى 2 مصطلحًا ، أي 11 مصطلحًا.

وبالتالي ، لدينا القيم التالية:

a1 = 500
ن = 11
ص = 500

لإيجاد قيمة الحد n ، a11 ، نستخدم صيغة المصطلح العام.

an = a1 + (n-1) .r
أ 21 = 500 + (11-1) × 500
أ 21 = 500 + 10 × 500
a21 = 5500

تطبيق صيغة مجموع شروط P.A.

حل المزيد من التمارين في:

التقدم الحسابي - تمارين

تعرف على المزيد من خلال قراءة:

• التسلسل العددي
• المتوالية الهندسية
• التقدم الهندسي - تمارين
• الصيغ الرياضية