عند دراسة مجموعة الأعداد النسبية ، نجد بعض الكسور التي ، عند تحويلها إلى أعداد عشرية ، تصبح أعدادًا عشرية دورية. لإجراء هذا التحويل ، يجب قسمة بسط الكسر على مقامه كما في حالة الكسر 
. وبالمثل ، من خلال عدد عشري دوري ، يمكننا إيجاد الكسر الذي أدى إلى ظهوره. يسمى هذا الكسر "توليد جزء”.
في أي عدد عشري دوري ، يسمى الرقم الذي يتكرر بـ بالطبع الوقت. في المثال الموضح ، لدينا عدد عشري دوري بسيط ، والنقطة هي الرقم 6. من خلال معادلة بسيطة ، يمكننا إيجاد الجزء المولِّد لـ 0,6666…
أولاً ، يمكننا أن نقول:
x = 0,666...
من هناك ، نتحقق من عدد الأرقام التي تحتوي عليها الفترة. في هذه الحالة ، تحتوي الفترة على رقم. لذلك دعونا نضرب طرفي المعادلة في 10 ، إذا كانت الفترة تحتوي على رقمين ، فسنضرب في 100 ، في حالة 3 أرقام ، في 1000 ، وهكذا. لذلك سيكون لدينا:
10x = 6,666...
في العضو الثاني من المعادلة ، يمكننا تقسيم الرقم 6666... إلى رقم صحيح وكسر عشري آخر على النحو التالي:
10 x = 6 + 0,666...
ومع ذلك ، في البداية ذكرنا ذلك x = 0.666... ، لذا يمكننا استبدال الجزء العشري من المعادلة بـ x ويتبقى لنا:
10 س = 6 + x
باستخدام الخصائص الأساسية للمعادلات ، يمكننا بعد ذلك تغيير المتغير x من الجانب الثاني إلى الجانب الأول من المعادلة:
10 س - س = 6
لحل المعادلة ، سيكون لدينا:
9 س = 6
س = 6
9
بتبسيط الكسر بمقدار 3 ، لدينا:
س = 2
3
هكذا، 
، بمعنى آخر، 
هو جزء توليد الرقم العشري الدوري 0.6666... .
دعنا نرى عندما يكون لدينا عدد عشري مركب دوري ، كما في حالة 0,03131… سنبدأ بنفس الطريقة:
x = 0,03131...
من أجل جعل هذه المساواة أكثر تشابهًا مع المثال السابق ، نحتاج إلى تغييرها بحيث لا يكون لدينا أي رقم بين علامة المساواة والنقطة. لذلك ، دعنا نضرب المعادلة في 10:
10 x = 0,313131... ***
باتباع المنطق المستخدم في المثال الأول ، لدينا أن الفترة العشرية الدورية تتكون من رقمين ، لذلك دعونا نضرب المعادلة في 100.
1000 x = 31,313131...
الآن يكفي كسر الجزء العشري بأكمله ، في العنصر الثاني من المساواة.
1000 x = 31 + 0,313131...
ولكن بواسطة ***، يجب علينا 10 x = 0,313131...، فلنستبدل الرقم العشري بـ 10 x.
1000 x = 31 + 10 x
1000 x - 10 س = 31
990 x = 31
x = 31
990
لذا فإن الجزء المولد من 0,0313131… é 31 . يمكن تطبيق هذه القاعدة على جميع العشور الدورية.
990
بقلم أماندا غونسالفيس
تخرج في الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geratriz-uma-dizima-periodica.htm