مولد العشور الدورية. إيجاد الكسر المولّد

عند دراسة مجموعة الأعداد النسبية ، نجد بعض الكسور التي ، عند تحويلها إلى أعداد عشرية ، تصبح أعدادًا عشرية دورية. لإجراء هذا التحويل ، يجب قسمة بسط الكسر على مقامه كما في حالة الكسر . وبالمثل ، من خلال عدد عشري دوري ، يمكننا إيجاد الكسر الذي أدى إلى ظهوره. يسمى هذا الكسر "توليد جزء”.

في أي عدد عشري دوري ، يسمى الرقم الذي يتكرر بـ بالطبع الوقت. في المثال الموضح ، لدينا عدد عشري دوري بسيط ، والنقطة هي الرقم 6. من خلال معادلة بسيطة ، يمكننا إيجاد الجزء المولِّد لـ 0,6666…

أولاً ، يمكننا أن نقول:

x = 0,666...

من هناك ، نتحقق من عدد الأرقام التي تحتوي عليها الفترة. في هذه الحالة ، تحتوي الفترة على رقم. لذلك دعونا نضرب طرفي المعادلة في 10 ، إذا كانت الفترة تحتوي على رقمين ، فسنضرب في 100 ، في حالة 3 أرقام ، في 1000 ، وهكذا. لذلك سيكون لدينا:

10x = 6,666...

في العضو الثاني من المعادلة ، يمكننا تقسيم الرقم 6666... إلى رقم صحيح وكسر عشري آخر على النحو التالي:

10 x = 6 + 0,666...

ومع ذلك ، في البداية ذكرنا ذلك x = 0.666... ، لذا يمكننا استبدال الجزء العشري من المعادلة بـ x ويتبقى لنا:

10 س = 6 + x

باستخدام الخصائص الأساسية للمعادلات ، يمكننا بعد ذلك تغيير المتغير x من الجانب الثاني إلى الجانب الأول من المعادلة:

10 س - س = 6

لحل المعادلة ، سيكون لدينا:

9 س = 6

س = 6
9

بتبسيط الكسر بمقدار 3 ، لدينا:

س = 2
3

هكذا، ، بمعنى آخر،  هو جزء توليد الرقم العشري الدوري 0.6666... .

دعنا نرى عندما يكون لدينا عدد عشري مركب دوري ، كما في حالة 0,03131… سنبدأ بنفس الطريقة:

x = 0,03131...

من أجل جعل هذه المساواة أكثر تشابهًا مع المثال السابق ، نحتاج إلى تغييرها بحيث لا يكون لدينا أي رقم بين علامة المساواة والنقطة. لذلك ، دعنا نضرب المعادلة في 10:

10 x = 0,313131... ***

باتباع المنطق المستخدم في المثال الأول ، لدينا أن الفترة العشرية الدورية تتكون من رقمين ، لذلك دعونا نضرب المعادلة في 100.

1000 x = 31,313131...

الآن يكفي كسر الجزء العشري بأكمله ، في العنصر الثاني من المساواة.

1000 x = 31 + 0,313131...

ولكن بواسطة ***، يجب علينا 10 x = 0,313131...، فلنستبدل الرقم العشري بـ 10 x.

1000 x = 31 + 10 x

1000 x - 10 س = 31

990 x = 31

x = 31
990

لذا فإن الجزء المولد من 0,0313131… é 31 . يمكن تطبيق هذه القاعدة على جميع العشور الدورية.
990

بقلم أماندا غونسالفيس
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geratriz-uma-dizima-periodica.htm