نظرية فيثاغورس: الصيغة والتمارين

ا نظرية فيثاغورس يسرد طول أضلاع المثلث القائم. يتكون هذا الشكل الهندسي من زاوية داخلية 90 درجة تسمى الزاوية اليمنى.

بيان هذه النظرية هو:

"مجموع مربعات ساقيك يتوافق مع مربع الوتر."

صيغة نظرية فيثاغورس

وفقًا لبيان نظرية فيثاغورس ، يتم تمثيل الصيغة على النحو التالي:

ال² = ب² + ج²

يجرى،

ال: وتر المثلث
ب: قطة
ç: قطة

ال وتر هو أطول ضلع في المثلث القائم والضلع المقابل للزاوية القائمة. الجانبان الآخران هما الأرجل. قياس الزاوية المكونة من هذين الضلعين يساوي 90 درجة (الزاوية القائمة).

حددنا أيضًا الساقين ، وفقًا لزاوية مرجعية. بمعنى ، يمكن تسمية الضلع بالجوار أو الضلع المقابل.

عندما تكون الساق قريبة من الزاوية المرجعية ، فإنها تسمى a متاخم، من ناحية أخرى ، إذا كان ضد هذه الزاوية ، يطلق عليه عكس.

فيما يلي ثلاثة أمثلة لتطبيقات نظرية فيثاغورس على العلاقات المترية لمثلث قائم الزاوية.

مثال 1: حساب قياس الوتر

إذا كان مثلث قائم الزاوية به 3 سم و 4 سم قياسات للأرجل ، فما هو وتر هذا المثلث؟

إذن ، أضلاع المثلث الأيمن هي 3 سم ، و 4 سم ، و 5 سم.

مثال 2: احسب قياس إحدى الأرجل

أوجد قياس الساق التي هي جزء من مثلث قائم الزاوية ، طول الوتر 20 سم والضلع الأخرى 16 سم.

إذن ، قياسات أضلاع المثلث القائم هي 12 سم و 16 سم و 20 سم.

مثال 3: تحقق مما إذا كان المثلث مستطيلاً

مثلث أضلاعه قياس 5 سم و 12 سم و 13 سم. كيف تعرف أنه مثلث قائم الزاوية؟

لإثبات صحة المثلث القائم ، يجب أن تخضع قياسات أضلاعه لنظرية فيثاغورس.

بما أن المقاييس المعطاة تلبي نظرية فيثاغورس ، أي أن مربع الوتر يساوي مجموع مربع الساقين ، فيمكننا القول إن المثلث مستطيل.

اقرأ أيضا: العلاقات المترية في مثلث المستطيل

مثلث فيثاغورس

عندما يقيس جوانب أ مثلث قائم هي أعداد صحيحة موجبة ، يسمى المثلث بمثلث فيثاغورس.

في هذه الحالة ، تسمى الأرجل والوتر "بدلة فيثاغورس" أو "ثلاثي فيثاغورس". للتحقق مما إذا كانت ثلاثة أعداد تشكل ثلاثي فيثاغورس ، نستخدم العلاقة بـ² = ب² + ج².

يتم تمثيل أشهر ثلاثي فيثاغورس بالأرقام: 3 ، 4 ، 5. الوتر يساوي 5 ، والساق الأكبر تساوي 4 والساق الأصغر تساوي 3.

لاحظ أن مساحة المربعات المرسومة على كل جانب من جوانب المثلث مرتبطة تمامًا مثل نظرية فيثاغورس: مساحة المربع على الجانب الطويل تتوافق مع مجموع مناطق الاثنين الآخرين ميدان.

ومن المثير للاهتمام أن مضاعفات هذه الأرقام تشكل أيضًا بذلة فيثاغورس. على سبيل المثال ، إذا ضربنا الثلاثي 3 و 4 و 5 في 3 ، فسنحصل على الأرقام 9 و 12 و 15 التي تشكل أيضًا بدلة فيثاغورس.

بالإضافة إلى البدلات 3 و 4 و 5 ، هناك العديد من الدعاوى الأخرى. كمثال ، يمكننا أن نذكر:

• 5 و 12 و 13
• 7, 24, 25
• 20 و 21 و 29
• 12 و 35 و 37

اقرأ أيضا: علم المثلثات في المثلث المستطيل

من كان فيثاغورس؟

حسب التاريخ فيثاغورس من ساموس (570 أ. ج. - 495 أ. م) فيلسوف وعالم رياضيات يوناني أسس مدرسة فيثاغورس الواقعة في جنوب إيطاليا. يُطلق عليه أيضًا مجتمع فيثاغورس ، وقد اشتمل على دراسات في الرياضيات وعلم الفلك والموسيقى.

على الرغم من أن العلاقات المترية للمثلث الأيمن كانت معروفة بالفعل من قبل البابليين ، الذين عاشوا قبل فيثاغورس بفترة طويلة ، أول دليل على أن هذه النظرية تنطبق على أي مثلث قائم الزاوية يعتقد أنه تم إنشاؤها بواسطة فيثاغورس.

تعد نظرية فيثاغورس واحدة من أشهر النظريات وأكثرها أهمية وتستخدم في الرياضيات. إنه ضروري في حل المشكلات في الهندسة التحليلية والهندسة المستوية والهندسة المكانية وعلم المثلثات.

بالإضافة إلى النظرية ، كانت المساهمات المهمة الأخرى لجمعية فيثاغورس للرياضيات هي:

• اكتشاف الأعداد غير المنطقية ؛
• خصائص الأعداد الصحيحة
• MMC و MDC.

اقرأ أيضا: الصيغ الرياضية

براهين نظرية فيثاغورس

هناك عدة طرق لإثبات نظرية فيثاغورس. على سبيل المثال ، الكتاب اقتراح فيثاغورس، الذي نُشر عام 1927 ، قدم 230 طريقة لإثبات ذلك ، وأصدرت نسخة أخرى عام 1940 ، وزادت إلى 370 مظاهرة.

شاهد الفيديو أدناه وتحقق من بعض العروض التوضيحية لنظرية فيثاغورس.

كم عدد الطرق المتاحة لإثبات نظرية فيثاغورس؟ - بيتي فاي

تمارين علقت على نظرية فيثاغورس

السؤال رقم 1

(PUC) مجموع مربعات الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية يساوي 32. ما هو طول وتر المثلث؟

أ) 3
ب) 4
ج) 5
د) 6

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ب) 4.

من المعلومات الواردة في البيان ، نعلم أن² + ب² + ج² = 32. من ناحية أخرى ، من خلال نظرية فيثاغورس علينا ذلك² = ب² + ج² .

استبدال قيمة ب²+ ج² بواسطة² في التعبير الأول نجد:

ال² + ال² =32 ⇒ 2. ال² = 32 ⇒ إلى² = 32/2 إلى² = 16 ⇒ أ = 16
أ = 4

لمزيد من الأسئلة ، راجع: نظرية فيثاغورس - تمارين

السؤال 2

(وإما)

في الشكل أعلاه ، الذي يمثل تصميم سلم مكون من 5 درجات من نفس الارتفاع ، فإن الطول الإجمالي للدرابزين يساوي:

أ) 1.9 م
ب) 2.1 م
ج) 2.0 م
د) 1.8 م
هـ) 2.2 م

انظر للاجابة

البديل الصحيح: ب) 2.1 م.

الطول الإجمالي للدرابزين سيكون مساويًا لمجموع قسمي الطول الذي يساوي 30 سم مع المقطع الذي لا نعرف قياسه.

يمكننا أن نلاحظ من الشكل أن القسم المجهول يمثل وتر المثلث القائم الزاوية ، الذي يساوي قياس أحد ضلعه 90 سم.

لإيجاد قياس الساق الأخرى ، يجب أن نضيف طول الخمس خطوات. لذلك ، لدينا ب = 5. 24 = 120 سم.

لحساب الوتر ، دعنا نطبق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث.

ال² = 90² + 120² ل² = 8100 + 14400 ل² = 22500 أ = √ 22500 = 150 سم

لاحظ أنه كان بإمكاننا استخدام فكرة بدلات فيثاغورس لحساب الوتر ، لأن الساقين (90 و 120) هي مضاعفات البدلات 3 و 4 و 5 (ضرب كل الحدود في 30).

بهذه الطريقة ، سيكون القياس الكلي للدرابزين:

30 + 30 + 150 = 210 سم = 2.1 م

اختبر معلوماتك مع تمارين علم المثلثات

السؤال 3

(UERJ) كتب ميلور فرنانديز ، في تكريم جميل للرياضيات ، قصيدة نستخرج منها الجزء أدناه:

للعديد من أوراق كتاب الرياضيات ،
وقع في الحب ذات يوم بشكل كبير
بواسطة مجهول.
نظر إليها بنظرته التي لا تعد ولا تحصى
ورآها من قمة إلى قاعدة: شخصية غريبة ؛
عيون معينية ، فم شبه منحرف ،
جسم مستطيل ، ثدي كروي.
جعلت حياتك موازية لها ،
حتى التقيا في إنفينيتي.
"من أنت؟" - سأل بقلق شديد.
"أنا مجموع مربعات الأرجل.
لكن يمكنك مناداتي بالوتر.”

(ميلور فرنانديز. ثلاثون عاما من نفسي.)

كان Incognita مخطئًا في قول من هو. للوفاء بنظرية فيثاغورس ، يجب القيام بما يلي

أ) "أنا مربع مجموع الأرجل. لكن اتصل بي بمربع الوتر ".
ب) "أنا مجموع الأرجل. لكن يمكنك مناداتي بالوتر ".
ج) "أنا مربع مجموع الأرجل. لكن يمكنك مناداتي بالوتر ".
د) "أنا مجموع مربعات الأرجل. لكن اتصل بي بمربع الوتر ".

انظر للاجابة

البديل د) "أنا مجموع مربعات الأرجل. لكن اتصل بي بمربع الوتر ".

تعلم المزيد عن الموضوع:

• مثلث متساوي الساقين
• الجيب وجيب التمام والظل
• الرياضيات في العدو