نعرف جميع الأعداد المنطقية كأعداد حقيقية غير منطقي. من خلال دراسة مجموعات عددية، من المهم أن نفهم أنها تتبع احتياجات وتاريخ البشرية ، فالمجموعات العددية هي:
- مجموعة من الأعداد الطبيعية
- مجموعة عدد كامل
- تعيين الأرقام المنطقية
- مجموعة من الأعداد غير المنطقية
- مجموعة من الأعداد الحقيقية
أنت الأعداد الحقيقية لها خصائص مثل: الترابطي ، التبادلي ، وجود العنصر المحايد للجمع والضرب ، وجود عنصر معكوس في الضرب والتوزيع. الأعداد الحقيقية يمكن تمثيلها على الخط الحقيقي - كيفية تمثيلهم بطريقة منظمة.
اقرأ أيضا: ما هي الأعداد الأولية؟
ما هي الأعداد الحقيقية؟
نحن نعرف مجموعة مكونة من أعداد حقيقية اتحاد الأعداد المنطقية وغير المنطقية. من الشائع جدًا العمل معهم ، لكن مجموعة الأرقام الحقيقية لم تكن أول من ظهر في التاريخ.
الأعداد الطبيعية
ا أول مجموعة عددية تم تشكيله من خلال الأعداد الطبيعية. لقد تم إنشاؤها من الاحتياجات الأساسية للبشر لعد وإحصاء الأشياء في حياتهم اليومية. أنت الأعداد الطبيعية هم انهم:
العدد = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ...}
أعداد صحيحة
مع تطور المجتمع ، كانت أشواق الإنسان تتغير و بحاجة للعمل مع الأرقام السالبة
. بدأت عمليات مثل 4 - 6 ، والتي ، في مجموعة الأعداد الطبيعية ، غير منطقية ، في القيام بذلك مع ظهور هذه المجموعة الجديدة. طقم من الأعداد الكلية جاء بجمع الأعداد السالبة في مجموعة الأعداد الطبيعية ، أي هي يتكون من الأعداد الطبيعية وعكسها.ض = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
أرقام نسبية
اتضح أنه مع إضافة الأعداد السالبة ، لم تكن مجموعة الأعداد الصحيحة كافية ، حيث أن مصر القديمة، من الشائع استخدام الأعداد التي ليست أعدادًا صحيحة. عندها تحققت الحاجة إلى إضفاء الطابع الرسمي على مجموعة جديدة: المجموعة التي شكلها الجميع الأرقام التي يمكن تمثيلها بكسر يُعرف بالأرقام المنطقية.
على عكس مجموعة الأعداد الصحيحة ، في العدد الكسري لا يمكن كتابة قائمة بالمصطلحات مع أسلافهم وخلفائهم، لأنه ، بالنظر إلى الأرقام المنطقية ، سيكون هناك دائمًا رقم آخر رقم منطقي بينهم. على سبيل المثال ، بين 1 و 2 هناك 1.5 ؛ بين 1 و 1.5 هناك 1.25 ؛ وما إلى ذلك وهلم جرا. لذلك ، لتمثيل الأرقام المنطقية ، نستخدم الترميز التالي:
في هذا الترميز ، العدد المنطقي هو الرقم الذي يمكن تمثيله بالكسر ال تحت بعلى ماذا ال هو عدد صحيح و ب هو عدد صحيح غير صفري.
في مجموعة الأرقام المنطقية ، تم تضمين جميع الأعداد الصحيحة التي كانت معروفة بالفعل ، حيث يمكن تمثيلها جميعًا في صورة كسر ، بالإضافة إلى الأرقام العشرية الدقيقة و العشور الدورية، ايجابي وسلبي.
نرى أيضا: ما هي الأعداد الترتيبية؟
أرقام غير منطقية
على عكس تعريف الأعداد المنطقية ، هناك أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر. قام بعض علماء الرياضيات بدراستها في الوقت المناسب ، في محاولة لعمل هذا التمثيل ، لكن هذا غير ممكن. هذه الأرقام هي العشور غير الدورية و الجذور ليس بالضبط، مما يؤدي في نهاية المطاف إلى توليد العشور غير الدورية نتيجة لذلك. الرقم π ، على سبيل المثال ، هو رقم غير منطقي شائع جدًا في الحياة اليومية. مجموعة الأرقام غير المنطقية غير قابلة للسرد ، وكذلك الأرقام المنطقية ، ويتم تمثيلها بالحرف أنا.
أمثلة:
- √2 → الجذور غير الدقيقة هي أعداد غير منطقية ؛
- -√5 → الجذور ليست دقيقة حتى لو كانت سالبة هي أرقام غير منطقية ؛
- 3.123094921… → الكسور العشرية غير الدورية هي أعداد غير منطقية.
أرقام حقيقية
نظرًا لأن جميع الأرقام الطبيعية والصحيحة تعتبر منطقية ، يمكن أن تكون الأرقام كذلك حتى الآن مصنفة إلى مجموعتين كبيرتين ، مجموعة الأعداد المنطقية ومجموعة الأعداد غير منطقي. مجموعة الأعداد الحقيقية ليست أكثر من اتحاد الأعداد المنطقية وغير المنطقية.
R = {Q U I}
حتى الآن ، تسمى جميع الأرقام التي نعرفها أرقامًا حقيقية.
عمليات بأرقام حقيقية
العمليات التي تتضمن أرقامًا حقيقية هي تلك المعروفة لجميع مجموعات الأرقام السابقة. هل هم:
- إضافة
- الطرح
- قطاع
- عمليه الضرب
- التقوية
- إشعاع
لإجراء أي من هذه العمليات بين الأعداد الحقيقية ، لا يوجد فرق عن العمليات بالأرقام السابقة.
أيضًا ، بالنظر إلى مثل هذه العمليات ، من المهم إبراز ذلك هناك خصائص في مجموعة الأعداد الحقيقية.
خصائص الأعداد الحقيقية
من المهم أن نفهم أن خصائص الأعداد الحقيقية عواقب تعريفه وهي مفيدة لإجراء العمليات. هل هم:
- وجود عنصر محايد للجمع والضرب
- خاصية التبديل
- ملكية مشتركة
- خاصية التوزيع
- وجود معكوس
عنصر محايد
يكون ال رقم حقيقي.
هناك رقم تمت إضافته إلى ال، النتائج في حد ذاتها ال:
ال + 0 = ال
0 هو العنصر المحايد في المجموع..
يوجد رقم عند الضرب في ال، النتائج في حد ذاتها ال.
ال · 1 = ال
1 هو العنصر المحايد في الضرب.
خاصية التبديل
يكون ال و ب رقمين حقيقيين.
في عملية الجمع أو الضرب ، لن يغير ترتيب الأرقام النتيجة.
ال + ب = ب + ال
أ · ب = ب · أ
ملكية مشتركة
يكون ال, ب و ç أرقام حقيقية.
في كل من الجمع والضرب ، لا يبال الرقمان العاملان بأي ترتيب.
(ال + ب) + ç = ال + (ب + ç)
(أ · ب) · ç = ال· (ب · ج)
خاصية التوزيع
يكون ال, ب و ç أرقام حقيقية.
توضح الخاصية التوزيعية أن حاصل ضرب المجموع يساوي مجموع حاصل الضرب.
ç (أ + ب) = ca + cb
وجود معكوس
يكون ال رقم حقيقي غير صفري.
لكل رقم حقيقي ال يختلف عن الصفر ، فهناك رقم يدخله المنتج ال وهذا الرقم يساوي 1.
التمثيل على التوالي
يمكننا تمثيل مجموعة الأعداد الحقيقية في الخط ، نظرًا لوجود a مبدأ النظام واضح المعالم بالنسبة له. يُعرف هذا التمثيل على الخط بالخط الحقيقي أو إعادةإنه عدد وهو شائع جدًا ، حتى في دراسة الطائرة الديكارتية.
الوصول أيضًا إلى: ما هو الكسر؟
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - يرجى الحكم على العبارات التالية:
I - الكسور العشرية الدورية هي أرقام حقيقية.
II - كل رقم حقيقي هو منطقي أو غير منطقي
III - ليس كل عدد صحيح طبيعيًا.
من خلال تحليل البيانات ، يمكننا القول:
أ) أنا فقط كاذب.
ب) أنا فقط خاطئ.
ج) فقط الثالث هو خطأ.
د) كلها صحيحة.
ه) كلها خاطئة.
القرار
البديل د.
أنا - صحيح ، بما أن العشور أعداد غير منطقية ، فهي بالتالي أعداد حقيقية.
II - صحيح ، لأن مجموعة الأعداد الحقيقية هي اتحاد الأعداد الحقيقية وغير المنطقية.
III - صحيح ، لأن الأعداد السالبة ، مثل -2 و -5 ، هي أعداد صحيحة ، ولكنها ليست طبيعية.
السؤال 2 - تحقق من الخصائص التالية:
أنا - الملكية التبادلية
الثاني - خاصية التوزيع
ثالثا - الملكية الترابطية
حلل العمليات التالية وقم بتمييزها بعدد خصائص كل منها:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
أي من البدائل يتوافق مع الترتيب الصحيح للخصائص:
أ) الثاني - الأول - الثالث - الأول
ب) الأول - الثالث - الثالث - الثاني
ج) الثالث - الثاني - الثالث - الثالث
د) الثاني - الأول - الثالث - الثاني
هـ) الثاني - الثالث - الثاني - الأول
القرار
البديل أ.
1 - (II) في هذه الحالة ، حدثت خاصية التوزيع ، حيث لاحظ أنه تم ضرب 3 في كل عامل من عوامل العملية.
2 - (I) في هذه الحالة ، لا يغير ترتيب العوامل المنتج ، تبادلية الضرب.
3 - (III) لدينا الخاصية الترابطية ، لأن الترتيب الذي تتم به إضافة هذه العناصر لا يغير المجموع.
4 - (I) هنا مرة أخرى لدينا تبادلية ، لأن ترتيب الطرود لا يغير المجموع.
