Внутрішній добуток між двома векторами

О крапковий добуток між двома векторами - дійсне число, яке пов'язує величину цих векторів, тобто їх довжину та кут між ними. Тому для його обчислення необхідно знати їх довжини та кут, який вони утворюють.

Використовуючи площину як основу, вектор вказує місце розташування, інтенсивність, напрямок та напрямок. Тому він використовується при вивченні механіки (фізики) як представник сили, прикладеної до об’єкта.

Звичайне зображення вектора - стрілка, яка закінчується в точці. Координати цієї точки називаються координатами вектора, починаючи з точки O (0,0). Ми пишемо v = (a, b), щоб зобразити це. Таким чином, вектор v = (1,2) малюється наступним чином:

Приклад вектора, починаючи з початку

Щоб обчислити довжину цього вектора, розглянемо прямокутний трикутник, утворений ним, та його проекцію на вісь х (або вісь у), як показано на наступному малюнку:

Довжина вектора v

Довжина вектора v називається v векторна норма або векторний модуль v і представлений | v |. Зауважимо, що норма вектора v = (a, b) є саме мірою гіпотенузи трикутника, представленої на малюнку вище. Для обчислення цієї міри ми використовуємо теорему Піфагора:

| v |² =² + b²

| v | = √ (а² + b² )

Два крапки продукту

Враховуючи два вектори u і v, внутрішній добуток між ними представлений і визначається як:

= | u || v | · cosθ

Це своєрідне множення між двома векторами, однак воно не називається добутком, оскільки не є загальним множенням, оскільки воно включає кут, утворений цими двома векторами.

Кут між двома векторами

Першим результатом, що випливає з наведеного вище визначення, є кут між двома векторами. За допомогою дійсних чисел «крапковий добуток», «u векторна норма» та «v векторна норма» можна обчислити кут між векторами u і v. Для цього достатньо виконати розрахунки:

Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

Отже, поділивши внутрішній добуток на норми векторів u і v, ми знаходимо дійсне число, що відноситься до косинуса між цими двома векторами, а отже, і кута між ними.

Зверніть увагу, що якщо кут між двома векторами прямий, cosθ дорівнює нулю. Отже, вищевказаний продукт матиме такий результат:

= 0

З цього можна зробити висновок, що з огляду на два вектори u і v вони будуть ортогональними, якщо = 0.

Внутрішній продукт, розрахований за векторними координатами

Беручи до уваги два вектори u = (a, b) та v = (c, d), точковий добуток між u і v визначається як:

= = a · c + b · d

Внутрішні властивості товару

Враховуючи вектори u, v та w та дійсне число α, зверніть увагу:

i) =

Це означає, що внутрішній добуток векторів є "комутативним".

ii) = +

Ця властивість порівнянна з розподільністю множення над додаванням.

iii) = = α

Обчислення внутрішнього добутку між u та v, помноженим на дійсне число α, є таким самим, як обчислення внутрішнього добутку між αv та u або між v і αu.

iv) = 0 <=> v = 0

Внутрішній добуток v з v дорівнює лише нулю, якщо v є нульовим вектором.

v) ≥ 0 для всіх v.

Внутрішній добуток v на v завжди буде більшим або рівним нулю.

Луїс Пауло Морейра
Закінчив математику