THE обернена функція, як випливає з назви, є функція f (x)-1, яка виконує саме обернену до функції f (x). Щоб функція підтримувала обернену, вона повинна бути бієктор, тобто інжектор і суржектор одночасно. Закон утворення оберненої функції робить протилежне тому, що робить функція f (x).
Наприклад, якщо функція приймає значення з домен і додає 2, обернена функція замість додавання віднімає 2. знайди закон оберненої функції це не завжди легке завдання, оскільки необхідно інвертувати невідомі x і y, а також виділити y у новому рівнянні.
Читайте також:Функція - все, що потрібно знати для оволодіння предметом
Коли функція підтримує зворотну?
Роль є зворотний, тобто він має обернену функцію, якщо і лише тоді, коли вона є бієктор. Важливо пам’ятати, що таке функція бієктора, що є функцією інжектор, тобто кожен елемент зображення має одного кореспондента домену. Це означає, що різні елементи набору A повинні бути пов'язані з різними елементами в множина B, тобто не може бути двох або більше елементів множини A, які мають однакові відповідні значення в набір Б.
Роль є сурєктивний якщо зображення дорівнює контрдомену, тобто в наборі B немає жодного елемента, який не мав би елемента в наборі A, пов’язаного з ним.
Нехай функція f: A → B, де A - область, а B - контрдомен, оберненою функцією f буде функція, описана f-1 : B → A, тобто домен і контрдомен інвертовані.
Приклад:
Функція f: A → B є бієктивною, оскільки вона ін'єктивна (зрештою, різні елементи в A пов'язані з різні елементи в B), і це також сюр'єктивно, оскільки в множині B не залишилось жодного елемента, тобто контрдомен такий же, як і встановити Зображення.
Отже, ця функція є оборотною, а її обернена:
Як визначається закон оберненої функції?
Щоб знайти закон оберненої функції, нам потрібно змінити невідоме, тобто замінюючи x на y та y на x, а потім ізолюючи невідомий y. Для цього важливо, щоб функція була оборотною, тобто бієктором.
→ Приклад 1
Знайдіть закон утворення оберненої функції f (x) = x + 5.
Дозвіл:
Ми знаємо, що f (x) = y, тому y = x + 5. Виконуючи інверсію x та y, ми знайдемо наступне рівняння:
x = y + 5
Тепер виділимо y:
- 5 + x = y
y = x - 5
Очевидно, якщо f (x) додає 5 до значення x, то його обернене f (x) - 1 буде робити зворотне, тобто х мінус 5.
→ Приклад 2
Враховуючи функцію, закон формування якої дорівнює f (x) = 2x - 3, яким буде закон утворення її оберненого?
→ Приклад 3
Обчисліть закон утворення, оберненого до функції y = 2х.
Дозвіл:
y = 2х
Зміна x на y:
х = 2р
подання заявки логарифм з обох сторін:
журнал2x = журнал22р
журнал2x = ylog22
журнал2x = y · 1
журнал2x = y
y = журнал2х
Читайте також: Різниця між функцією та рівнянням
Графік оберненої функції
Графік оберненої функції f -1 він завжди буде симетричним графіку функції f щодо прямої y = x, що дозволяє аналізувати поведінку цих функції, хоча ми не можемо описати зворотний закон формування функції в деяких випадках через його складність.
Читайте також: Як побудувати графік функції?
розв’язані вправи
1) Якщо f-1 - обернена функція f, яка переходить від R до R, закон утворення f (x) = 2x - 10, числове значення f -1(2) é:
до 1
б) 3
в) 6
г) -4
д) -6
Дозвіл:
→ 1-й крок: знайти обернене до f.
→ 2-й крок: замінити 2 замість x на f -1(х).
Альтернатива C.
2) Нехай f: A → B - функція, закон освіти якої f (x) = x² + 1, де A {-2, -1, 0, 1, 2} та B = {1,2,5}, правильно говорити, що:
а) функція оборотна, оскільки є бієктором.
б) функція не є оборотною, оскільки не є ін’єкційною.
в) функція не оборотна, оскільки не є сюр’єктивною
г) функція не оборотна, оскільки вона не є ні сюр’єктивною, ні ін’єкційною.
д) функція не оборотна, оскільки є бієктором.
Дозвіл:
Щоб функція була оборотною, вона повинна бути бієктивною, тобто сюр’єктивною та ін’єкційною. Спочатку давайте проаналізуємо, чи це сюр’єктивно.
Щоб функція була сюр’єктивною, всі елементи B повинні мати відповідник в A. Щоб знати це, давайте обчислимо кожне з його числових значень.
f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5
f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2
f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1
f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2
f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5
Зверніть увагу, що всі елементи B {1,2,5} мають відповідні значення в A, що робить функцію сурєктивний.
Щоб ця функція була ін'єкційною, елементи, відмінні від A, повинні мати різні зображення в B, чого не відбувається. Зверніть увагу, що f (-2) = f (2), а також, що f (-1) = f (1), що робить функцію не робіть ін’єкції. Оскільки це не інжектор, він також не зворотний; отже, альтернатива b.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm