Раціоналізація знаменників це техніка, що використовується, коли a дріб має ірраціональне число у знаменнику, і ви хочете знайти другий дріб, еквівалентний першому дроби, але який не має ірраціонального числа у своєму знаменнику. Для цього необхідно виконати математичні операції, щоб переписати дріб так, щоб у знаменнику не було неточного кореня.
Читайте також: Як розв’язувати операції з дробами?
Як раціоналізувати знаменники?
![](/f/0fbeabc3e2af6d9ca71288ae2b99c047.jpg)
Ми почнемо з найпростішого випадку раціоналізації знаменників і перейдемо до найскладнішого, але сама методика полягає у пошуку еквівалентна дріб множення чисельника і знаменника на зручне число, що дозволяє виключити корінь знаменника дробу. Подивіться, як це зробити в різних ситуаціях нижче.
Раціоналізація, коли в знаменнику є квадратний корінь
Є кілька дробів, якими можна зобразити ірраціональні числа у знаменниках. Див. Кілька прикладів:
![](/f/baf1891fa838cc8b1c8acd7aaf7cc50e.jpg)
Коли знаменник дробу ірраціональний, ми використовуємо деякі прийоми, щоб перетворити його на раціональний знаменник, такий як раціоналізація. коли є
квадратний корінь у знаменнику ми можемо поділити на два випадки. Перший з них коли фракція має лише один корінь у своєму радикалі.Приклад 1:
![](/f/e1d1de43df58ce9e0e58077541d230cc.jpg)
Щоб раціоналізувати цей знаменник, давайте знайдемо дріб, еквівалентний цьому, але який не має ірраціонального знаменника. Для цього давайте помножте чисельник і знаменник на одне і те ж число - у цьому випадку це буде саме знаменник дробу, тобто √3.
![](/f/ff00bab14bd4650b37fae08415e92780.jpg)
В множення дробів, множимося прямо. Ми знаємо, що 1 · √3 = √3. У знаменнику маємо, що √3 · √3 = √9 = 3. З цим ми дійшли до наступного:
![](/f/e1542ac30caf684e37fe87bfb30880a5.jpg)
Отже, ми маємо представлення дробу, знаменник якого не є ірраціональним числом.
Приклад 2:
Другий випадок - це коли додавання або різниця між неточним коренем.
![](/f/29c5e7a9837a3f6735ecae7ed5cdf3f9.jpg)
Коли в знаменнику є різниця або додавання термінів, одним із них є неточний корінь, множимо чисельник і знаменник на сполучену знаменник. Ми називаємо сполучену √2 - 1 оберненою до другого числа, тобто √2 + 1.
![](/f/8eb27d8ac49d87d017144c78eeb068ca.jpg)
Виконуючи множення в чисельнику, ми маємо:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
Знаменник - чудовий продукт відомий як добуток суми на різницю. Ваш результат - завжди квадрат першого доданка мінус квадрат другого члена.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Отже, раціоналізуючи знаменник цього дробу, ми маємо:
![](/f/2e4d3714cedf12139259766fb9b55f09.jpg)
Дивіться також: Три поширені помилки в спрощенні алгебраїчних дробів
Раціоналізація, коли корінь індексу більше 2
Тепер подивимося на деякі приклади, коли в знаменнику є корінь індексів, більший за 2.
![](/f/5a3f3107f5071edd3b3e9630c0900873.jpg)
Оскільки метою є усунення радикала, давайте помножимо знаменник, щоб можна було вилучити корінь цього знаменника.
Приклад 1:
![](/f/c323f24c496e612fb4a5a698fd8b3036.jpg)
У цьому випадку, щоб виключити показник радикалу, давайте помножте на кубічний корінь 2² у чисельнику та знаменнику, так що він з’являється всередині радикала 2³ і, таким чином, можна скасувати кубічний корінь.
![](/f/84c0bbe83c8a6dcfbf945d8b97ed46d6.jpg)
Здійснюючи множення, ми маємо:
![](/f/4929d9986524fcc38e488616beae960d.jpg)
Приклад 2:
![](/f/ce06a5ea095d25137616a33b2792dc2b.jpg)
Використовуючи ті самі міркування, помножимо знаменник і чисельник на число, яке спричиняє потенція від знаменника до індексу, тобто давайте помножте на п’ятий корінь з 3 кубів щоб можна було скасувати знаменник.
![](/f/3b10e95efb34cc72404bdb3033c6940e.jpg)
Читайте також: Як спростити алгебраїчні дроби?
розв’язані вправи
питання 1 - Обґрунтовуючи знаменник дробу нижче, знаходимо:
![](/f/47a193702a69a1f7d0b9c04d8ce11cd6.jpg)
А) 1 + √3.
Б) 2 (1 + √3).
В) - 2 (1+ √3).
Г) √3.
Д) √3 –1.
Дозвіл
Альтернатива C.
![](/f/67e8b7121c3b148f0175abcf7b629f33.jpg)
Питання 2 - (IFCE 2017 - адаптоване) Апроксимуючи значення √5 та √3 до другого знака після коми, отримуємо відповідно 2,23 та 1,73. Приблизно значення наступного числового виразу з другим знаком після коми:
![](/f/34a28d0514e473079b99e39aaf5a8451.jpg)
А) 1,98.
Б) 0,96.
В) 3,96.
Г) 0,48.
Д) 0,25.
Дозвіл
Альтернатива Е.
![](/f/8b86d6bbe14e249a175b2a54033e1ed4.jpg)
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm