Раціоналізація знаменників це техніка, що використовується, коли a дріб має ірраціональне число у знаменнику, і ви хочете знайти другий дріб, еквівалентний першому дроби, але який не має ірраціонального числа у своєму знаменнику. Для цього необхідно виконати математичні операції, щоб переписати дріб так, щоб у знаменнику не було неточного кореня.
Читайте також: Як розв’язувати операції з дробами?
Як раціоналізувати знаменники?
Ми почнемо з найпростішого випадку раціоналізації знаменників і перейдемо до найскладнішого, але сама методика полягає у пошуку еквівалентна дріб множення чисельника і знаменника на зручне число, що дозволяє виключити корінь знаменника дробу. Подивіться, як це зробити в різних ситуаціях нижче.
Раціоналізація, коли в знаменнику є квадратний корінь
Є кілька дробів, якими можна зобразити ірраціональні числа у знаменниках. Див. Кілька прикладів:
Коли знаменник дробу ірраціональний, ми використовуємо деякі прийоми, щоб перетворити його на раціональний знаменник, такий як раціоналізація. коли є
квадратний корінь у знаменнику ми можемо поділити на два випадки. Перший з них коли фракція має лише один корінь у своєму радикалі.Приклад 1:
Щоб раціоналізувати цей знаменник, давайте знайдемо дріб, еквівалентний цьому, але який не має ірраціонального знаменника. Для цього давайте помножте чисельник і знаменник на одне і те ж число - у цьому випадку це буде саме знаменник дробу, тобто √3.
В множення дробів, множимося прямо. Ми знаємо, що 1 · √3 = √3. У знаменнику маємо, що √3 · √3 = √9 = 3. З цим ми дійшли до наступного:
Отже, ми маємо представлення дробу, знаменник якого не є ірраціональним числом.
Приклад 2:
Другий випадок - це коли додавання або різниця між неточним коренем.
Коли в знаменнику є різниця або додавання термінів, одним із них є неточний корінь, множимо чисельник і знаменник на сполучену знаменник. Ми називаємо сполучену √2 - 1 оберненою до другого числа, тобто √2 + 1.
Виконуючи множення в чисельнику, ми маємо:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
Знаменник - чудовий продукт відомий як добуток суми на різницю. Ваш результат - завжди квадрат першого доданка мінус квадрат другого члена.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Отже, раціоналізуючи знаменник цього дробу, ми маємо:
Дивіться також: Три поширені помилки в спрощенні алгебраїчних дробів
Раціоналізація, коли корінь індексу більше 2
Тепер подивимося на деякі приклади, коли в знаменнику є корінь індексів, більший за 2.
Оскільки метою є усунення радикала, давайте помножимо знаменник, щоб можна було вилучити корінь цього знаменника.
Приклад 1:
У цьому випадку, щоб виключити показник радикалу, давайте помножте на кубічний корінь 2² у чисельнику та знаменнику, так що він з’являється всередині радикала 2³ і, таким чином, можна скасувати кубічний корінь.
Здійснюючи множення, ми маємо:
Приклад 2:
Використовуючи ті самі міркування, помножимо знаменник і чисельник на число, яке спричиняє потенція від знаменника до індексу, тобто давайте помножте на п’ятий корінь з 3 кубів щоб можна було скасувати знаменник.
Читайте також: Як спростити алгебраїчні дроби?
розв’язані вправи
питання 1 - Обґрунтовуючи знаменник дробу нижче, знаходимо:
А) 1 + √3.
Б) 2 (1 + √3).
В) - 2 (1+ √3).
Г) √3.
Д) √3 –1.
Дозвіл
Альтернатива C.
Питання 2 - (IFCE 2017 - адаптоване) Апроксимуючи значення √5 та √3 до другого знака після коми, отримуємо відповідно 2,23 та 1,73. Приблизно значення наступного числового виразу з другим знаком після коми:
А) 1,98.
Б) 0,96.
В) 3,96.
Г) 0,48.
Д) 0,25.
Дозвіл
Альтернатива Е.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm
