Для обчислення детермінант квадратних матриць порядку, менших або рівних 3 (n≤3), ми маємо деякі практичні правила для виконання цих обчислень. Однак, коли порядок перевищує 3 (n> 3), багато з цих правил не застосовуються.
Тож ми побачимо теорему Лапласа, яка, використовуючи поняття кофактора, веде обчислення детермінант до правил, що застосовуються до будь-яких квадратних матриць.
Теорема Лапласа складається з вибору одного з рядків (рядка або стовпця) матриці та додавання добутків елементів цього рядка за їх відповідними кофакторами.
Алгебраїчна ілюстрація:
Давайте розглянемо приклад:
Обчисліть визначник матриці C, використовуючи теорему Лапласа:
Відповідно до теореми Лапласа, ми повинні вибрати рядок (рядок або стовпець) для обчислення визначника. Давайте використаємо перший стовпець:
Нам потрібно знайти значення кофактора:
Отже, за теоремою Лапласа детермінант матриці C задається таким виразом:
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Зверніть увагу, що не потрібно було обчислювати кофактор елемента матриці, який дорівнював нулю, адже, коли ми множимо кофактор, результат у будь-якому випадку буде нульовим. Тому, коли ми стикаємося з матрицями, які мають багато нулів в одному зі своїх рядків, використання теореми Лапласа стає цікавим, оскільки не потрібно буде обчислювати декілька кофактори.
Давайте подивимось на приклад цього факту:
Обчисліть визначник матриці B, використовуючи теорему Лапласа:
Зверніть увагу, що другий стовпець - це рядок, який має найбільшу кількість нулів, тому ми будемо використовувати цей рядок для обчислення визначника матриці за допомогою теореми Лапласа.
Тому, щоб визначити визначник матриці B, просто знайдіть кофактор A22.
Отже, ми можемо завершити обчислення визначника:
дет B = (- 1). (- 65) = 65
Габріель Алессандро де Олівейра
Закінчив математику
Шкільна команда Бразилії
Хотіли б ви посилатися на цей текст у школі чи академічній роботі? Подивіться:
ОЛІВЕЙРА, Габріель Алессандро де. «Теорема Лапласа»; Бразильська школа. Доступно: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm. Доступ 29 червня 2021 року.
