А сферичний ковпак і геометричне тіло отримують, коли сферу перетинає площина, що ділить її на два геометричні тіла. Кулястий ковпак вважається круглим тілом, тому що, як і сфера, має округлу форму. Для обчислення площі та об’єму сферичної шапки скористаємося певними формулами.
Читайте також: Стовбур конуса — геометричне тіло, утворене дном конуса при розрізі, паралельному основі.
Резюме про сферичну кришку
- Сферична шапка — геометричне тіло, отримане при поділі кулі площиною.
- Основними елементами сферичної шапки є радіус кулі, радіус сферичної шапки та висота сферичної шапки.
- Кулястий ковпачок — це не багатогранник, а кругле тіло.
- Якщо площина ділить кулю навпіл, то сферична шапка утворює півсферу.
- Можна обчислити радіус сферичної кришки за допомогою теореми Піфагора, організованої таким чином:
\(\ліворуч (R-h\праворуч)^2+r^2=R^2\)
- Площу сферичної шапки можна розрахувати за формулою:
\(A=2\pi rh\ \)
- Обсяг сферичної шапки можна розрахувати за такою формулою:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\ліворуч (3r-h\праворуч)\)
Що таке сферична кришка?
сферичний ковпак це геометричне тіло, отримане при розрізі м'яч поширений плоский. Розрізаючи кулю площиною, ми ділимо цю кулю на дві сферичні шапки. Коли ми ділимо сферу навпіл, сферична шапка називається півсферою.
Сферичні елементи кришки
У сферичній шапкі основними елементами є радіус сфери, радіус сферичної шапки та висота сферичної шапки.
- R → радіус сфери.
- r → радіус сферичної шапки.
- h → висота сферичної шапки.
Кулястий ковпак — це багатогранник чи кругле тіло?
Ми бачимо, що шапка є геометричним тілом. Оскільки він має круглу основу та округлу поверхню, сферична шапка вважається a кругле тіло, який також відомий як тверде тіло революції. Варто зазначити, що многогранник має грані, утворені багатокутники, що не стосується сферичної шапки, яка має основу, утворену a коло.
Як розрахувати радіус сферичної шапки?
Щоб обчислити радіусну довжину сферичної кришки, необхідно знати довжину висоти h сферичної шапки і довжину радіуса R сфери, тому що, як ми бачимо на наступному зображенні, існує піфагорове співвідношення.
Зверніть увагу, що у нас є a прямокутний трикутник, трикутник OO’B, гіпотенуза якого дорівнює R, а катети дорівнюють R – h і r. Застосування Теорема Піфагора, Ми мусимо:
\(\ліворуч (R-h\праворуч)^2+r^2=R^2\)
приклад:
Чому дорівнює радіус сферичного ковпака, висота якого дорівнює 2 см, якщо радіус кулі дорівнює 5 см?
роздільна здатність:
Застосовуючи співвідношення Піфагора:
\(\ліворуч (R-h\праворуч)^2+r^2=R^2\)
\(\ліворуч (5-2\праворуч)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Як розрахувати площу сферичної шапки?
Щоб обчислити площу сферичної шапки, необхідно знати вимірювання довжини радіуса R кулі та висоти h шапки. Формула, яка використовується для обчислення площі поверхні:
\(A=2\pi Rh\)
- R → радіус сфери.
- h → висота сферичної шапки.
приклад:
З кулі, радіус якої дорівнює 6 см, а висота – 4 см, отримали сферичну шапку. Отже, яка площа поверхні цієї сферичної кришки?
роздільна здатність:
Обчисливши площу сферичної шапки, маємо:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ см^2\)
Як розрахувати об'єм сферичної шапки?
Обсяг сферичної шапки можна розрахувати двома способами. Перша формула залежить від радіуса R кулі та висоти h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\ліворуч (3 R-h\праворуч)\)
приклад:
Який об’єм кулястої шапки виходить із кулі радіусом 8 см, висота якої дорівнює 6 см?
роздільна здатність:
Оскільки ми знаємо значення R і h, ми будемо використовувати першу формулу.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\ліворуч (3 R-h\праворуч)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\ліворуч (3\cdot8-6\праворуч)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\ліворуч (24-6\праворуч)\)
\(V=12\pi\ліворуч (18\праворуч)\)
\(V=216\пі\ см^3\)
Інша формула об’єму сферичної шапки враховує радіус сферичної шапки r і висоту кришки h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\ліворуч (3r^2+h^2\праворуч)\)
приклад:
Який об’єм сферичної шапки, радіус якої 10 см, а висота 4 см?
роздільна здатність:
У цьому випадку маємо r = 10 см і h = 4 см. Знаючи значення радіуса сферичної шапки і висоту, скористаємося другою формулою:
\(V=\frac{\pi h}{6}\ліворуч (3r^2+h^2\праворуч)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\ліворуч (3{\cdot10}^2+4^2\праворуч)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\ліворуч (3\cdot100+16\праворуч)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\ліворуч (300+16\праворуч)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\ліворуч (316\праворуч)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(В\прибл. 210,7\ \пі\ см³\)
Дивіться також: Стовбур піраміди — геометричне тіло, утворене дном піраміди в поперечному перерізі
Розв'язані вправи на сферичну шапку
питання 1
(Enem) Для прикраси дитячого святкового столу шеф-кухар використає кулясту диню діаметром 10 см, яка буде служити підставкою для наколювання різних солодощів. Він зніме з дині сферичну кришку, як показано на малюнку, і, щоб гарантувати стабільність цієї опори, Щоб дині було важко котитися по столу, шеф-кухар розріже так, щоб радіус r круглої секції розрізу становив принаймні мінус 3 см. З іншого боку, бос захоче мати якомога більше площі в регіоні, де будуть розміщені солодощі.
Щоб досягти всіх своїх цілей, шеф-кухар повинен зрізати верхівку дині на висоті h, у сантиметрах, що дорівнює
а) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
Б)\( 10-\sqrt{91}\)
В) 1
D) 4
E) 5
роздільна здатність:
Альтернатива C
Ми знаємо, що діаметр кулі дорівнює 10 см, тому її радіус дорівнює 5 см, тому OB = 5 см.
Якщо радіус перерізу дорівнює рівно 3 см, то маємо:
AO² + AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 см
Тому:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
питання 2
Сферична шапка має площу 144π см². Знаючи, що її радіус дорівнює 9 см, висота цієї сферичної шапки дорівнює:
А) 8 см
Б) 10 см
В) 14 см
Г) 16 см
Д) 22 см
роздільна здатність:
Альтернатива А
Ми знаємо, що:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Висота 8 см.
Рауль Родрігес де Олівейра
вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm
