При вивченні кіл важливим поняттям, яке слід вивчити, є дотична лінія до кола. Для проведення цього дослідження необхідно зрозуміти взаємне розташування точки відносно кола. Якщо ви не вивчали щось, пов’язане з цією темою, перегляньте статтю Відносні положення між точкою та колом.
Спостерігаючи положення точки відносно кола, можна зробити висновок про деякі факти, пов’язані з дотичними прямими. Відомо, що є три відносні положення від точки до кола. Для кожного положення цього можна зробити висновок про дотичну лінію, яка проходить через цю точку.
• Точка всередині кола: Ви не можете провести дотичну лінію через цю точку.
• Точка, що належить колу: через цю точку ми можемо мати лише дотичну лінію, оскільки це точка дотику.
• Точка поза колом: з цієї точки ми можемо провести дві прямі, дотичні до кола.
Отже, щоб визначити рівняння дотичної прямої до кола через дану точку, ми повинні обов’язково визначити взаємне положення цієї точки. Це положення залежить від відстані від точки до центру кола.
Ми повинні пам’ятати деякі важливі факти про аналітичну геометрію:
• Найкоротша відстань від точки до прямої - це відрізок, перпендикулярний цій прямій;
• Дотична лінія завжди буде перпендикулярна до променя в його дотичній точці.
Пов'язуючи два попередні факти, можна стверджувати, що відстань від дотичної лінії до центру повинна дорівнювати радіусу.
Тому, щоб визначити рівняння дотичної прямої, ми повинні проаналізувати положення точки, яку ми проведемо до прямої і за допомогою цього обчисліть відстань лінії, що містить цю точку, відносно центру окружність.
Для кращого розуміння всіх цих понять ми будемо працювати з прикладами, які потребують цих роздумів.
1) Визначте рівняння (и) дотичної (-ів) прямої (-их) до даного кола, проведеної точкою P.
а) рівняння окружність: х2+ y2 - 6x - 8y = 0 P (0.0)
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Завдяки цьому ми можемо отримати необхідну інформацію для вирішення нашої проблеми:
C (3,4), r = 5.
Тепер ми повинні знайти відносне положення точки Р (0,0):
Отже, точка Р - точка дотику.
Визначимо рівняння прямої через точку P.
Для того, щоб насправді визначити рівняння прямої, нам ще потрібно з’ясувати, який нахил цієї прямої. Одним з фактів, який ми побачили на початку цієї статті, була перпендикулярність дотичної лінії до радіуса кола. Точка P - це точка дотику, тому нахил прямої, що проходить через точку P і центр, повинен бути перпендикулярним дотичній. Для цього ми маємо залежність між перпендикулярними нахилами.
Іншими словами, добуток нахилів перпендикулярних прямих дорівнює -1.
Для визначення нахилу сегмента ПК ми повинні використати такий вираз:
При цьому отримуємо рівняння дотичної прямої:
Іншим способом визначення значення m було б обчислення відстані від центру до прямої. Ця відстань дорівнює радіусу. Подивимось:
Коли точка знаходиться поза колом, ми повинні знайти точку дотику, використовуючи відстань від центру кола до дотичної лінії, тому ми визначимо значення кутового коефіцієнта дотичної лінії, що, в свою чергу, визначить рівняння прямої дотична.
Габріель Алессандро де Олівейра
Закінчив математику
Шкільна команда Бразилії
Хотіли б ви посилатися на цей текст у школі чи академічній роботі? Подивіться:
ОЛІВЕЙРА, Габріель Алессандро де. «Дотичність до окружності»; Бразильська школа. Доступно: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm. Доступ 29 червня 2021 року.
