Походження i у квадраті дорівнює -1

При вивченні комплексних чисел ми стикаємось із такою рівністю: i² = – 1.
Обгрунтування цієї рівності, як правило, пов'язане з розв'язанням рівнянь 2-го ступеня з від'ємними квадратними коренями, що є помилкою. Походження виразу i² = - 1 з’являється у визначенні комплексних чисел, ще одне питання, яке також викликає багато сумнівів. Давайте зрозуміємо причину такої рівності та як вона виникає.
Спочатку давайте зробимо деякі визначення.
1. Впорядкована пара дійсних чисел (x, y) називається комплексним числом.
2. Комплексні числа (x₁р₁) та (x₂р₂) рівні тоді і лише тоді, коли x₁ = х₂ та y₁ = y₂.
3. Додавання та множення комплексних чисел визначаються:
(х₁р₁) + (x₂р₂) = (x₁ + х₂р₁ + y₂)
(х₁р₁) * (x₂р₂) = (x₁* х₂ - y₁* р₂, х₁* р₂ + y₁* х₂)
Приклад 1. Розглянемо z₁ = (3, 4) та z₂ = (2, 5), обчисліть z₁ + z₂ та z₁* z₂.
Рішення:
z₁ + z₂ = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z₁* z₂ = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Використовуючи третє визначення, легко показати, що:
(х₁, 0) + (x₂, 0) = (x

₁ + х₂, 0)
(х₁, 0) * (x₂, 0) = (x₁* х₂, 0)
Ці рівності показують, що стосовно операцій додавання та множення комплексні числа (x, y) поводяться як дійсні числа. У цьому контексті ми можемо встановити такий взаємозв'язок: (x, 0) = x.
Використовуючи це відношення та символ i для представлення комплексного числа (0, 1), ми можемо записати будь-яке комплексне число (x, y) таким чином:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1) * (y, 0) = x + iy →, що є звичайною формою виклику комплексного числа.
Таким чином, комплексне число (3, 4) у нормальній формі стає 3 + 4i.
Приклад 2. Запишіть наступні комплексні числа у звичайній формі.
а) (5, - 3) = 5 - 3i
б) (- 7, 11) = - 7 + 11i
в) (2, 0) = 2 + 0i = 2
г) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Тепер зауважте, що ми називаємо i комплексним числом (0, 1). Давайте подивимося, що відбувається при створенні i2.
Ми знаємо, що i = (0, 1) і що i² = i * i. Дотримуйтесь цього:
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1)
Використовуючи визначення 3, ми матимемо:
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 )
Як ми бачили раніше, кожне комплексне число виду (x, 0) = x. Таким чином,
i² = i * i = (0, 1) * (0, 1) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0) = (0 - 1, 0 + 0) = (- 1, 0 ) = - 1.
Ми дійшли до знаменитої рівності i² = – 1.

Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)

Марсело Рігонатто
Фахівець зі статистики та математичного моделювання
Шкільна команда Бразилії

Комплексні числа - Математика - Бразильська школа