Показникове рівняння: що це таке і як розв'язувати (з прикладами)

Рівняння є експоненціальним, якщо невідоме (невідоме значення) є показником ступеня. Таким чином, математичне речення, яке містить рівність між двома членами, де невідоме з’являється принаймні в одному показнику, називається показниковим рівнянням.

Степінь є результатом добутку основи на саму себе стільки разів, скільки визначено показником степеня.

У показниковому рівнянні ми визначаємо, скільки множників потрібно помножити, тобто скільки разів помножити основу, щоб отримати певний результат.

Означення показникового рівняння:

математичний розмір початкового стилю 18 пікселів прямий b у степені прямий x дорівнює прямий до кінцевого стилю

Де:

b — основа;
x – показник степеня (невідомо);
a — потужність.

На що прямий b не дорівнює 1 прямому пробілу та прямий b більше 0 Це є прямо a не дорівнює 0 .

Приклад показникового рівняння:

Невідома змінна знаходиться в експоненті. Ми повинні визначити, скільки разів 2 буде помножено, щоб отримати 8. як 2. 2. 2 = 8, х = 3, тому що 2 потрібно помножити три рази, щоб отримати в результаті 8.

Як розв'язувати показникові рівняння

Показникові рівняння можна записати різними способами, і для їх вирішення ми будемо використовувати рівні степені з рівними основами, які також повинні мати однакові показники.

instagram story viewer

Оскільки експоненціальна функція є ін’єктивною, маємо:

пряма b у степені прямої x з 1 нижнім індексом у кінці експоненти, що дорівнює прямій b у степені прямої x з 2 нижніми індексами в кінці експоненціальний пробіл подвійна стрілка ліворуч і праворуч пробіл прямі x з 1 індексом дорівнює прямим x з 2 підписаний

Це означає, що два степені з однаковою основою будуть рівні тоді і тільки тоді, коли їхні показники також рівні.

Таким чином, одна стратегія розв’язання експоненційних рівнянь така зрівняти основи повноважень. Коли підстави збігаються, ми можемо виключити їх і порівняти показники.

Щоб зрівняти підстави степенів у показниковому рівнянні, ми використовуємо математичні інструменти, такі як розкладання на множники та властивості потенціювання.

Приклади розв’язування показникових рівнянь

Приклад 1
2 у степені прямої х, що дорівнює 64

Це показникове рівняння, оскільки речення містить рівність (рівняння), а невідома змінна x знаходиться в показнику (експоненціальному).

Щоб визначити значення невідомого х, ми прирівнюємо основи степенів, використовуючи розкладання 64 на множники.

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 або 2 у степені 6

Підставивши в рівняння:

2 у степені прямої х дорівнює 2 у степені 6

Ми нехтуємо основами, залишаючи лише рівність між показниками.

х = 6

Таким чином, x = 6 є результатом рівняння.

Приклад 2
9 у степені прямої x плюс 1 кінець експоненти, що дорівнює 81

Ми прирівнюємо основи за допомогою розкладання на множники.

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

Підставивши в рівняння:

відкриті дужки 3 у квадраті закриті дужки в степені x плюс 1 кінець експоненти дорівнює 3 у степені 4

Використовуючи властивість степеня, ми множимо показники степеня в лівій частині.

3 у степені 2 х плюс 2 кінець експоненти дорівнює 3 у степені 4

Коли підстави рівні, ми можемо відкинути їх і дорівняти показники.

2 прямі x плюс 2 дорівнює 4 2 прямі x дорівнює 4 мінус 2 2 прямі x дорівнює 2 прямі x дорівнює 2 на 2 дорівнює 1

Таким чином, x = 1 є результатом рівняння.

Приклад 3

0 кома 75 у степені прямого x дорівнює 9 на 16 пробілу

Перетворюємо основу 0,75 у сотенний дріб.

відкриті дужки 75 на 100 закрити дужки в степені прямого x дорівнює 9 на 16 пробіл

Спростимо сотень дріб.

відкрити дужки 3 на 4 закрити дужки в степені прямого х дорівнює 9 на 16 пробіл

Розкладаємо 9 і 16 на множники.

відкрити дужки 3 на 4 закрити дужки в степені прямого х дорівнює 3 в квадраті на 4 в квадраті

Прирівнюючи основи, маємо x = 2.

відкриті дужки 3 на 4 закрити дужки до степеня квадрата x дорівнює відкриті дужки 3 на 4 закрити дужки в квадраті

х = 2

Приклад 4

Ми перетворюємо корінь на потужність.

4 у степені х дорівнює 32 у степені 1 третій кінець експоненти

Ми розраховуємо основи влади.

відкриті дужки 2 у квадраті закрити дужки у степені x дорівнює відкриті дужки 2 у степені 5 закрити дужки в степені 1 третій кінець експоненти

Перемножуючи показники, дорівнюємо основи.

2 у степені 2 х кінець експоненти, що дорівнює 2 у степені 5 на 3 кінець експоненти

Тому ми повинні:

2 прямий х дорівнює 5 на 3 прямий х дорівнює чисельнику 5 на знаменнику 2.3 кінець дробу дорівнює 5 на 6

Приклад 5

Факторинг 25

відкрити дужки 5 у квадраті закрити дужки в степені прямої х мінус 6,5 у степені прямої х плюс 5 дорівнює 0

Переписуємо ступінь 5² на x. Зміна порядку степеня.

розкрити дужки 5 у степені x закрити дужки в квадраті мінус 6,5 у степені x плюс 5 дорівнює 0

Ми використовуємо допоміжну змінну, яку будемо називати y.

5 у степені прямої x дорівнює прямій y (збережіть це рівняння, ми використаємо його пізніше).

Підставляючи в попереднє рівняння.

пряма у в квадраті мінус 6. y плюс 5 дорівнює 0 y у квадраті мінус 6 y плюс 5 дорівнює 0

Розв’язуючи квадратне рівняння, маємо:

приріст дорівнює b у квадраті мінус 4. The. c приріст дорівнює лівій дужці мінус 6 права дужка в квадраті мінус 4.1.5 приріст дорівнює 36 мінус 20 приріст дорівнює 16

прямий y з 1 нижнім індексом дорівнює чисельнику мінус прямий b плюс квадратний корінь із приросту до знаменника 2. прямо до кінця прямого дробу y з 1 нижнім індексом, що дорівнює чисельнику мінус ліва дужка мінус 6 права дужка плюс квадратний корінь з 16 над знаменником 2.1 кінець прямого дробу y з 1 нижнім індексом, що дорівнює чисельнику 6 плюс 4 над знаменником 2 кінець дробу, що дорівнює 10 над 2 дорівнює 5

прямий y з 2 нижніми індексами дорівнює чисельнику мінус прямий b мінус квадратний корінь із приросту до знаменника 2. пряме до кінця дробу пряме у з 2 нижніми індексами, що дорівнюють чисельнику 6 мінус 4 над знаменником 2 кінець дробу, що дорівнює 2 над 2, що дорівнює 1

Набір розв’язків для квадратного рівняння дорівнює {1, 5}, однак це не розв’язок показникового рівняння. Ми повинні повернутися до змінної x, використовуючи 5 у степені прямої x дорівнює прямій y.