Область, діапазон і діапазон — це числові набори, пов’язані математичними функціями. Вони перетворюють значення за допомогою своїх законів формування та транспортують їх із вихідного набору, домену, до набору прибуття, діапазону.
З набору предметної області виходять значення, які будуть перетворені формулою функції, або законом формування. Згодом ці значення надходять до кодомену.
Підмножина, утворена елементами, які надходять у кодомен, називається набором зображень.
Таким чином, область, діапазон і діапазон є непустими множинами і можуть бути скінченними або нескінченними.
При дослідженні функцій необхідно вказати, які елементи або яка сфера дії цих множин. Наприклад: множина натуральних чисел або множина дійсних чисел.
Дано область A, в якій кожен елемент x, що йому належить, перетворюється функцією на елемент y, що належить діапазону B, кожен елемент y називається зображенням x.
Для позначення області визначення та діапазону функції використовується позначення:
(читаємо f від А до Б)
Ці закони перетворення є виразами, які включають операції та числові значення.
Приклад
Функція f: A→B визначена законом формування f(x) = 2x, де її область визначення є множиною A={1, 2, 3} і діапазон B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, може бути представлений значеннями в таблиці та діаграми:
|
Домен x |
f(x) = 2x |
Зображення і |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Організація результатів таблиці в діаграми:
Домен
Область D функції f — це вихідний набір, що складається з елементів x, застосованих до функції.
Геометрично в декартовій площині елементи області утворюють вісь абсцис.
в нотації домен представлено літерою перед стрілкою.
Кожен елемент x у домені має принаймні одне зображення y в кодомені.
кодомен
Домен CD є набором прибуття. в нотації зображено з правого боку стрілки.
Зображення
Зображення Im — це підмножина діапазону, утворена елементами y, які залишають функцію і приходять до діапазону, який може мати однакову кількість елементів або меншу кількість.
Таким чином, набір зображень функції f міститься в кодовій області.
Геометрично в декартовій площині елементи набору зображень утворюють вісь ординат.
Зазвичай кажуть, що y — це значення, яке приймається функцією f(x), і, таким чином, ми пишемо:
Можливо, що один і той самий елемент y є зображенням більш ніж одного елемента x в області.
Приклад
у функції визначені законом
, для симетричних x-значень області ми маємо єдине y-зображення.
дізнатися більше про функції.
Вправи на домен, співдомен і зображення
Вправа 1
За множинами A = {8, 12, 13, 20, 23} і B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55} визначте: область, діапазон і діапазон функції.
а) f: A → B визначається як f (x) = 2x + 1
б) f: A → B визначається як f (x) = 3x - 14
а) f: A → B визначається як f (x) = 2x + 1
Домен A = {8, 12, 13, 20, 23}
Домен B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Image Im (f) ={17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | я (f) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2,8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2,23+1 | 47 |
б) f: A → B визначається як f (x) = 3x - 14
Домен A = {8, 12, 13, 20, 23}
Домен B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Image Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | я (f) |
|---|---|---|
8 |
f (8)=3,8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3,12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3,13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20)=3,20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3,23 - 14 | 55 |
Вправа 2
Визначте область визначення функцій:
Домен — це набір можливих значень, які може приймати x.
а) Ми знаємо, що неможливе ділення на нуль 0, тому знаменник повинен відрізнятися від нуля.
Читаємо: x належить до дійсних, таких, що x відрізняється від 2.
б) Немає квадратного кореня з від’ємного числа. Отже, підкореневе значення має бути більше або дорівнювати нулю.
Читаємо: x належить до дійсних, таких, що x більше або дорівнює 5.
Вправа 3
Дано функцію з доменом у наборі цілих чисел який набір зображень для f(x)?
Множина Z цілих чисел допускає як від’ємні, так і додатні числа, де два послідовних числа знаходяться на відстані 1 одиниці.
Таким чином, функція приймає додатні та від’ємні значення. Однак, оскільки x у квадраті, кожне значення, навіть негативне, повертатиме додатне значення.
Приклад
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
Таким чином, на зображенні будуть тільки натуральні числа.
Вас може зацікавити:
- функція ін'єкції
- Сюр'єктивна функція
- Функція бієкції
- Обернена функція
- Композитна функція
Додатки та цікавинки
Функції мають застосування при дослідженні будь-якого явища, в якому один параметр залежить від іншого. Як, наприклад, швидкість руху предмета меблів у часі, вплив препарату з характеристиками кислотності в шлунку, температура котла з кількістю палива.
Функції присутні в реальних явищах і, отже, мають застосування у всіх наукових та інженерних дослідженнях.
Вивчення функцій не нещодавнє, деякі записи античності у вавилонських таблицях показують, що вони вже були частиною математики. Протягом багатьох років позначення, спосіб їх написання, отримували внески від кількох математиків і вдосконалювались, поки ми не використовуємо їх сьогодні.
