Факторизація поліноми складається з методів, розроблених для переписування полінома як добуток між поліномами. Запишіть поліном у вигляді множення між двома чи більше факторами допомагає спростити алгебраїчні вирази та зрозуміти поліном.
Існують різні випадки факторингу, і для кожного з них існують специфічні методики.. Існуючі випадки: розкладання за загальним множником у доказах, розкладання за групуванням, різниця між двома квадратами, трином досконалих квадратів, сума двох кубів і різниця двох кубів.
Детальніше:Що таке поліном?
Резюме з розкладання поліномів на множники
Факторизація поліномів — це методи, які використовуються для представлення полінома як добутку між поліномами.
Ми використовуємо цю факторізацію для спрощення алгебраїчні вирази.
-
Випадками факторингу є:
Факторування за загальним фактором у доказах;
Факторування за групуванням;
тричлен ідеального квадрата;
різниця двох квадратів;
сума двох кубів;
Різниця двох кубів.
Випадки поліноміального факторингу
Щоб розкласти поліном, необхідно проаналізувати, в якому з випадків факторингу підходить ситуація
, будучи: розкладання за загальним множником у доказах, розкладання за групуванням, різниця між двома квадратами, трином досконалих квадратів, сума двох кубів і різниця двох кубів. Давайте подивимося, як виконати розкладання на множники в кожному з них.Загальний фактор доказів
Ми використовуємо цей метод розкладання, коли є множник, загальний для всіх доданків полінома. Цей загальний фактор буде виділено як один фактор, а інший фактор, як результат поділ доданків за цим загальним множником, буде поміщено в дужки.
Приклад 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Аналізуючи кожен член цього полінома, можна побачити, що х повторюється в усіх доданках. Крім того, всі коефіцієнти (20, 12 і 8) кратні 4, тому загальний для всіх доданків множник дорівнює 4x.
Розділивши кожен член на спільний множник, отримаємо:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Тепер ми напишемо факторизацію, додаючи загальний множник як доказ і сума з результатів, що знаходяться в дужках:
4x (5y + 3x + 2y²)
Приклад 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Аналізуючи буквальну частину кожного доданка, можна побачити, що a²b повторюється у всіх з них. Зверніть увагу, що немає числа, яке ділило б 2, 3 і – 4 одночасно. Отже, загальний множник буде просто a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4-й5b³: a²b = 4a³
Таким чином, розкладання цього полінома буде мати вигляд:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Дивіться також: Додавання, віднімання та множення поліномів — зрозуміти, як вони виконуються
групування
Цей метод є використовується, коли немає спільного множника для всіх членів полінома. У цьому випадку ми визначаємо терміни, які можна згрупувати, маючи спільний фактор, і виділяємо їх.
приклад:
Розкладіть на множники наступний поліном:
ax + 4b + bx + 4a
Ми згрупуємо терміни, у яких a і b є загальним множником:
ax + 4a + bx + 4b
Поставляючи a і b в докази в термінах два на два, ми маємо:
a(x+4)+b(x+4)
Зверніть увагу, що в дужках множники однакові, тому ми можемо переписати цей поліном у вигляді:
(a + b) (x + 4)
тричлен ідеального квадрата
Тричлени — це поліноми з 3 доданками. Поліном відомий як трином досконалих квадратів, коли він є результат у квадраті суми або квадрату різниці, тобто:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Важливо: Не кожен раз, коли є три доданки, цей поліном буде тричленом ідеального квадрата. Тому перед проведенням розкладання на множники необхідно перевірити, чи підходить тричлен у цьому випадку.
приклад:
Розкладіть, якщо можливо, поліном
x² + 10x + 25
Після аналізу цього тричлена ми витягнемо квадратний корінь перший і останній терміни:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Важливо переконатися, що центральний член, тобто 10x, дорівнює \(2\cdot\ x\cdot5\). Зауважте, що це дійсно те саме. Отже, це ідеальний квадрат тринома, який можна розкласти на множники:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
різниця двох квадратів
Коли у нас є різниця двох квадратів, ми можемо розкласти цей поліном, переписавши його як добуток суми та різниці.
приклад:
Розкладіть поліном на множники:
4x² – 36y²
Спочатку обчислимо квадратний корінь кожного з його членів:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Тепер ми перепишемо цей поліном як добуток суми та різниці знайдених коренів:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Читайте також: Алгебраїчне обчислення з одночленами — дізнайтеся, як відбуваються чотири операції
сума двох кубів
Сума двох кубів, тобто a³ + b³, можна розкласти як:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
приклад:
Розкладіть поліном на множники:
х³ + 8
Ми знаємо, що 8 = 2³, отже:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Різниця двох кубів
Різниця двох кубів, тобто a³ – b³, не на відміну від суми двох кубів, можна розкласти як:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
приклад:
Розкладіть поліном на множники
8x³ - 27
Ми знаємо, що:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Отже, ми повинні:
\(8x^3-27=\ліворуч (2x-3\праворуч)\)
\(8x^3-27=\ліворуч (2x-3\праворуч)\ліворуч (4x^2+6x+9\праворуч)\)
Розв’язані вправи на розкладання поліномів на множники
питання 1
Використання поліноміальної факторізації для спрощення алгебраїчного виразу \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), ми знайдемо:
а) х + 2
Б) х - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Роздільна здатність:
Альтернатива Д
Дивлячись на чисельник, ми бачимо, що x² + 4x + 4 є випадком ідеального квадратного тринома і його можна переписати як:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Чисельник x² – 4 є різницею двох квадратів і може бути переписаний у вигляді:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Тому:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Зверніть увагу, що термін х + 2 міститься як у чисельнику, так і в знаменнику, тому його спрощення визначається так:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
питання 2
(Інститут Unifil) Враховуючи, що два числа, x і y, такі, що x + y = 9 і x² – y² = 27, значення x дорівнює:
а) 4
Б) 5
в) 6
Г) 7
Роздільна здатність:
Альтернатива C
Зауважте, що x² – y² – це різниця між двома квадратами, яку можна розкласти як добуток суми та різниці:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Ми знаємо, що x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (х - у) = 27
х - у = 27:9
х - у = 3
Тоді ми можемо встановити a система рівнянь:
Додаємо два рядки:
2x + 0 y = 12
2x = 12
х = \(\frac{12}{2}\)
х = 6
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
Джерело: Бразильська школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm
