Вивчайте 11 вправ на множення матриць, усі з покроковою роздільною здатністю, щоб ви могли розв’язати свої сумніви та добре скласти іспити та вступні іспити.
питання 1
Враховуючи наведені нижче матриці, поставте галочку в опції, яка вказує лише можливі продукти.
а) C.A, B.A, A.D.
б) Д.Б., Д.К., А.Д.
в) AC, D.A, C.D.
г) B.A, A.B, D.C
e) A.D., D.C., C.A.
Правильна відповідь: в) AC, D.A, C.D
A.C можливий, оскільки кількість стовпців в A (1) дорівнює кількості рядків у C (1).
D.A можливий, оскільки кількість стовпців у D (2) дорівнює кількості рядків у A (2).
C.D можливий, оскільки кількість стовпців у C (3) дорівнює кількості рядків у D (3).
питання 2
Складіть матричний твір А. Б.
Спочатку ми повинні перевірити, чи можна виконати множення.
Оскільки A — це матриця 2x3, а B — матриця 3x2, її можна перемножити, оскільки кількість стовпців у A дорівнює кількості рядків у B.
Ми перевірили розміри матриці, отриманої в результаті множення.
Викликаючи матрицю результату добутку А. B матриці C, це матиме два рядки і два стовпці. Пам’ятайте, що матриця результату продукту «успадковує» кількість рядків від першого і кількість стовпців від другого.
Отже, матриця C буде типу 2x2. Побудувавши загальну матрицю C, маємо:
C =
Щоб обчислити c11, ми помножимо перший рядок А для перша колонка Б, додаючи помножені доданки.
c11 = 3,1 + (-2).0 + 1,4 = 3 + 0 + 4 = 7
Щоб обчислити c12, ми помножимо перший рядок А для друга колонка Б, додаючи помножені доданки.
c12 = 3,3 + (-2).(-5) + 1,1 = 9 + 10 + 1 = 20
Щоб обчислити c21, ми помножимо другий рядок А для перша колонка Б, додавши помножені доданки.
c21 = 1,1 + 5,0 + (-1).4 = 1 + 0 + (-4) = -3
Щоб обчислити c22, ми помножимо другий рядок А для друга колонка Б, додаючи помножені доданки.
c22 = 1,3 + 5.(-5) + (-1).1 = 3 + (-25) + (-1) = -23
Запис матриці C з її членами.
C =
питання 3
Розв’яжіть матричне рівняння і визначте значення x і y.
Ми перевірили, що до рівності можна помножити матриці, оскільки вони типу 2x2 і 2x1, тобто кількість стовпців у першій дорівнює кількості рядків у другій. Результатом є матриця 2x1 у правій частині рівності.
Помножимо рядок 1 першої матриці на стовпець 1 другої матриці і дорівнює 3.
-1.x + 2.y = 3
-x + 2y = 3 (рівняння I)
Ми множимо рядок 2 першої матриці на стовпець 1 другої матриці і дорівнює -4.
4.x + (-3).y = -4
4x - 3y = -4 (рівняння II)
У нас є два рівняння і дві невідомі, і ми можемо розв’язати систему, щоб визначити x і y.
Помноживши обидві частини рівняння I на 4 і додавши I + II, отримаємо:
Підставивши у рівняння I і розв’язавши x, маємо:
Так ми маємо
питання 4
Враховуючи наступну лінійну систему, зв’яжіть матричне рівняння.
Є три рівняння і три невідомих.
Щоб зв’язати матричне рівняння із системою, ми повинні написати три матриці: коефіцієнти, невідомі та незалежні доданки.
Матриця коефіцієнтів
Невідома матриця
Матриця незалежних доданків
матричне рівняння
Матриця коефіцієнтів. матриця невідомих = матриця незалежних доданків
питання 5
(UDESC 2019)
Враховуючи матриці 
і знаючи, що А. B = C, тому значення x + y дорівнює:
а) 1/10
б) 33
в) 47
г) 1/20
д) 11
Правильна відповідь: в) 47
Щоб визначити значення x і y, розв’язуємо матричне рівняння, отримуючи систему. Розв’язуючи систему, отримуємо значення x і y.
Перемножуємо матриці:
Виділення x в рівнянні I
Підставляючи x у рівняння II
відповідність знаменників
Щоб визначити x, ми підставимо y в рівняння II
таким чином,
х + у = 19 + 18
х + у = 47
питання 6
(FGV 2016) Дано матрицю 
і знаючи, що матриця 
є оберненою матрицею матриці A, можна зробити висновок, що матриця X, яка задовольняє матричному рівнянню AX = B, має як суму своїх елементів число
а) 14
б) 13
в) 15
г) 12
д) 16
Правильна відповідь: б) 13
Будь-яка матриця, помножена на її обернену, дорівнює одиничної матриці In.
Помноживши обидві частини рівняння AX = B на .
Оформлення добутку в правій частині рівняння.
Як ідентична матриця є нейтральним елементом добутку матриці
Отже, сума його елементів дорівнює:
10 + 3 = 13
питання 7
Дано матрицю, що йде за матрицею A, обчисліть її обернену матрицю, якщо є.
A є оборотним або оборотним, якщо існує квадратна матриця того ж порядку, яка при множенні або множенні на A призводить до тотожної матриці.
Ми маємо намір визначити існування чи ні матриці для чого:
Оскільки A є квадратною матрицею порядку 2, також повинен мати порядок 2.
Запишемо обернену матрицю з її значеннями як невідомі.
Написання матричного рівняння та розв’язування добутку.
Прирівнювання еквівалентних доданків по обидві сторони рівності.
3a + 7c = 1
5a + 12c = 0
3b + 7d = 0
5b + 12d = 1
У нас є система з чотирма рівняннями і чотирма невідомими. У цьому випадку ми можемо розділити систему на дві частини. Кожне з двома рівняннями і двома невідомими.
вирішення системи
Виділення a в першому рівнянні
Підставляємо a в друге рівняння.
Заміна c
і система:
Виділення b у першому рівнянні
Підставляючи b у друге рівняння
Підставляючи d, щоб визначити b.
Заміна визначених значень в оберненій невідомій матриці
Перевірка того, чи є обчислювана матриця насправді оберненою матрицею A.
Для цього ми повинні виконати множення.
Отже, дроби є оборотними.
питання 8
(EsPCEx 2020) Будьте матрицями . Якщо AB=C, то x+y+z дорівнює
а) -2.
б) -1.
в) 0.
г) 1.
д) 2.
Правильна відповідь: д) 2.
Щоб визначити невідомі x, y і z, необхідно виконати матричне рівняння. В результаті ми отримаємо лінійну систему з трьох рівнянь і трьох невідомих. Розв’язуючи систему, визначаємо x, y, z.
За рівністю матриць маємо:
Додавання рівнянь I і III
Отже, х = -4/2 = -2
Підставляючи x = -2 в рівняння I та ізолюючи z.
Підставляємо значення x і z в рівняння II.
Підставляючи значення x і y в рівняння I, маємо:
Таким чином, ми повинні:
Отже, сума невідомих дорівнює 2.
питання 9
(PM-ES) Про множення матриць Фабіана записала у свій зошит такі речення:
Те, що говорить Фабіана, вірно:
а) тільки в І.
б) лише у II.
в) лише в III.
г) тільки в I і III.
д) тільки в І і IV
Правильна відповідь: д) тільки в І та ІV
Перемножувати матриці можна лише тоді, коли кількість стовпців у першій дорівнює кількості рядків у другій.
Отже, речення ІІІ вже відхилено.
Матриця C матиме кількість рядків A і кількість стовпців B.
Отже, речення І та ІV правильні.
питання 10
Дана матриця А, визначте .
Крок 1: Визначте .
Крок 2: Визначте транспоновану матрицю .
Ми отримуємо транспоновану матрицю A шляхом впорядкованої заміни рядків на стовпці.
Крок 3: Розв’яжіть матричний добуток .
Отже, результатом матричного добутку є:
питання 11
(UNICAMP 2018) The і Б дійсні числа такі, що матриця задовольняє рівняння
, На що я є ідентичною матрицею порядку 2. Отже, продукт аб це те саме, що
а) −2.
б) −1.
в) 1.
г) 2.
Правильна відповідь: а) -2.
Крок 1: Визначте .
Крок 2: Визначте а. THE.
Крок 3: Визначте b. I, де I — тотожна матриця.
Крок 4: Додайте aA + bI.
Крок 5: Установіть відповідні терміни в.
Крок 6: Розв’яжіть систему, виділяючи a в рівнянні I.
Підставляючи в рівняння II.
Заміна значення b
Крок 7: виконати множення a.b.
дізнатися більше про Матричне множення.
Вас може зацікавити:
Матриці - Вправи
Матриці
Матриці та визначники
Типи матриць