Закон косинусів: застосування, приклади та вправи

THE Закон косинусів використовується для обчислення міри однієї сторони або невідомого кута будь-якого трикутника, знаючи інші його міри.

Заява та формули

Теорема косинусів стверджує, що:

"У будь-якому трикутнику квадрат на одній стороні є сумою квадратів з двох інших сторін, мінус подвоєне добуток цих двох сторін на косинус кута між ними.."

Отже, за законом косинусів ми маємо такі співвідношення між сторонами та кутами трикутника:

Приклади

1. Дві сторони трикутника мають розміри 20 см і 12 см і утворюють між ними кут 120 °. Обчисліть вимірювання третьої сторони.

Рішення

Для обчислення міри третьої сторони будемо використовувати закон косинусів. Для цього давайте розглянемо:

b = 20 см
c = 12 см
cos α = cos 120º = - 0,5 (значення, знайдене в тригонометричних таблицях).

Заміна цих значень у формулі:

² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
² = 400 + 144 + 240
² = 784
a = √784
a = 28 см

Тож третя сторона вимірює 28 см.

2. Визначте міру сторони AC і міру кута з вершиною в A за таким малюнком:

Спочатку визначимо AC = b:

B² = 8² + 10² – 2. 8. 10. cos 50-й
B² = 164 – 160. cos 50-й
B² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82

Тепер визначимо міру кута за законом косинусів:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161,1524 - 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º

Примітка: Для пошуку значень кутів косинуса ми використовуємо Тригонометрична таблиця. У ній ми маємо значення кутів від 1º до 90º для кожної тригонометричної функції (синус, косинус та тангенс).

Застосування

Закон косинуса можна застосувати до будь-якого трикутника. Будь то гострокутний (внутрішні кути менше 90 °), тупокутний (з внутрішнім кутом більше 90 °) або прямокутник (з внутрішнім кутом, рівним 90 °).

Представлення трикутників через їх внутрішні кути

А як щодо прямокутних трикутників?

Застосуємо закон косинусів до сторони, протилежної куту 90 °, як зазначено нижче:

² = b² + c² - 2. Б. ç. cos 90º

Як cos 90º = 0, наведений вище вираз стає:

² = b² + c²

Що те саме, що і вираз Теорема Піфагора. Таким чином, можна сказати, що ця теорема є приватним випадком закону косинусів.

Закон косинуса підходить для задач, коли ми знаємо дві сторони та кут між ними, і ми хочемо знайти третю сторону.

Ми все ще можемо використовувати його, коли знаємо три сторони трикутника і хочемо знати один з його кутів.

У ситуаціях, коли ми знаємо два кути і лише одну сторону і хочемо визначити іншу сторону, зручніше використовувати закон гріхів.

Визначення косинуса та синуса

Косинус і синус кута визначаються як тригонометричні співвідношення у прямокутному трикутнику. Сторона, протилежна прямому куту (90º), називається гіпотенузою, а інші дві сторони - катетами, як показано на малюнку нижче:

Уявлення про прямокутний трикутник та його сторони: стегна та гіпотенуза

Потім косинус визначається як співвідношення між вимірюванням сусідньої ніжки та гіпотенузою:

З іншого боку, синус - це відношення між вимірюванням протилежної катети та гіпотенузою.

Вправи на вступному іспиті

1. (UFSCar) Якщо сторони трикутника вимірюють x, x + 1 та x +2, то для будь-якого х дійсний і більший за 1, косинус найбільшого внутрішнього кута цього трикутника дорівнює:

а) x / x + 1
б) x / x + 2
в) х + 1 / х + 2
г) х - 2 / 3х
д) х - 3 / 2х

Див. Відповідь

Альтернатива д) х - 3 / 2х

2. (UFRS) У трикутнику, зображеному на малюнку нижче, AB і AC мають однакову міру, а висота відносно сторони BC дорівнює 2/3 міри BC.

Виходячи з цих даних, косинус кута CÂB дорівнює:

а) 25.07
б) 20.07
в) 4/5
г) 5/7
д) 5/6

Див. Відповідь

Альтернатива а) 7/25

3. (UF-Джуїз де Фора) Дві сторони трикутника мають розміри 8 м і 10 м і утворюють кут 60 °. Третя сторона цього трикутника вимірює:

а) 2√21 м
б) 2√31 м
в) 2√41 м
г) 2√51 м
д) 2√61 м

Див. Відповідь

Альтернатива а) 2√21 м

Докладніше про тему:

• Тригонометрія
• Тригонометрія в трикутнику прямокутника
• Вправи з тригонометрії в прямокутному трикутнику
• Тригонометричні відносини
• Тригонометричне коло
• Тригонометричні функції