Арифметична прогресія (П.А.)

THE Арифметична прогресія (П.А.) - це послідовність чисел, де різниця між двома послідовними доданками завжди однакова. Ця постійна різниця називається P.A.

Таким чином, з другого елемента послідовності числа, що з’являються, є результатом суми константи зі значенням попереднього елемента.

Це те, що відрізняє його від геометричної прогресії (PG), оскільки в цьому числа множаться на відношення, тоді як в арифметичній прогресії вони додаються.

Арифметичні прогресії можуть мати фіксовану кількість доданків (скінченний P.A.) або нескінченну кількість доданків (нескінченний P.A.).

Щоб вказати, що послідовність продовжується нескінченно довго, ми використовуємо еліпси, наприклад:

• послідовність (4, 7, 10, 13, 16, ...) - нескінченний П.А.
• послідовність (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) є кінцевим P.A.

Кожен термін P.A. ідентифікується за позицією, яку він займає в послідовності, і для представлення кожного терміна ми використовуємо букву (зазвичай буква ), за яким слід цифра, що вказує на його положення в послідовності.

Наприклад, термін ₄ у P.A (2, 4, 6, 8, 10) - це число 8, оскільки це число займає 4-ту позицію в послідовності.

Класифікація P.A.

За значенням коефіцієнта арифметичні прогресії класифікуються на:

• Постійний: коли коефіцієнт дорівнює нулю. Наприклад: (4, 4, 4, 4, 4 ...), де r = 0.
• Вирощування: коли коефіцієнт більше нуля. Наприклад: (2, 4, 6, 8,10 ...), де r = 2.
• низхідний: коли відношення менше нуля (15, 10, 5, 0, - 5, ...), де r = - 5

Властивості П.А.

1-а властивість:

У кінцевому П.А. сума двох доданків, рівновіддалених від крайнощів, дорівнює сумі крайнощів.

Приклад

2-а властивість:

Враховуючи три послідовних члена П.А., середній член буде дорівнює середньому арифметичному для інших двох доданків.

Приклад

3-я властивість:

У кінцевому П. з непарною кількістю доданків центральний доданок буде дорівнює середньому арифметичному між доданками, рівновіддаленими від нього. Ця властивість походить від першого.

Формула загального терміну

Де,

an: доданок, який ми хочемо обчислити
a1: перший термін П.А.
n: положення терміна, який ми хочемо відкрити
r: причина

Пояснення формули

Оскільки відношення РА є постійним, ми можемо обчислити його значення з будь-яких послідовних доданків, тобто:

Тому ми можемо знайти значення другого члена П.А., виконавши:

Для пошуку третього члена ми будемо використовувати той самий розрахунок:

Заміна значення a₂, який ми знайшли раніше, маємо:

Якщо ми дотримуємося тих самих міркувань, ми можемо знайти:

Спостерігаючи за знайденими результатами, зауважимо, що кожен доданок дорівнюватиме сумі першого доданка із відношенням, помноженим на попередню позицію.

Цей розрахунок виражається через формулу загального терміну П.А., що дозволяє нам знати будь-який елемент арифметичної прогресії.

Приклад

Обчисліть 10-й член П.А.: (26, 31, 36, 41, ...)

Рішення

По-перше, ми повинні визначити, що:

₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10-й термін).

Підставивши ці значення у формулу загального терміна, маємо:

_немає =₁ + (n - 1). р
₁₀ = 26 + (10-1). 5
₁₀ = 26 + 9 .5
₁₀ = 71

Отже, десятий доданок зазначеної арифметичної прогресії дорівнює 71.

Формула загального терміна з будь-якого k-терміна

Часто для визначення будь-якого загального терміна, який ми називаємо an, ми не маємо першого терміна a1, але ми знаємо будь-який інший термін, який ми називаємо ak.

Ми можемо використовувати загальну формулу терміну з будь-якого k-терміна:

Зверніть увагу, що різницею була лише зміна від індексу 1 у першій формулі до k у другій.

Бути,

an: n-й член П.А. (термін у будь-якій n позиції)
ak: k-й член П.А. (термін у будь-якій k-позиції)
r: причина

Сума термінів P.A.

Щоб знайти суму доданків кінцевого П.А., просто скористайтеся формулою:

Де,

s_немає: сума перших російських доданків П.А.
₁: перший термін П.А.
_немає: займає n-ту позицію в послідовності (член у позиції n)
немає: термінова посада

Також читайте про ПА та ПГ.

Вправа вирішена

Вправа 1

PUC / RJ - 2018

Знаючи, що числа в послідовності (y, 7, z, 15) знаходяться в арифметичній прогресії, чого вартує сума y + z?

а) 20
б) 14
в) 7
г) 3,5
д) 2

Див. Відповідь

Щоб знайти значення z, ми можемо скористатися властивістю, яка говорить, що коли у нас є три послідовні доданки, середній доданок буде дорівнює середньому арифметичному двох інших. Отже, маємо:

Якщо z дорівнює 11, то відношення буде дорівнює:

r = 11 - 7 = 4

Таким чином, y буде дорівнює:

y = 7 - 4 = 3

Тому:

y + z = 3 + 11 = 14

Альтернатива: б) 14

Вправа 2

МСФЗ - 2017

На малюнку нижче ми маємо послідовність прямокутників, усі висотою a. Основою першого прямокутника є b, а наступними прямокутниками є базове значення попереднього плюс одиниця виміру. Таким чином, основа другого прямокутника дорівнює b + 1, а третього - b + 2 тощо.

Розгляньте твердження нижче.

I - Послідовність областей прямокутника є арифметичною прогресією відношення 1.
II - Послідовність площ прямокутника є арифметичною прогресією відношення а.
III - Послідовність площ прямокутників - це геометрична прогресія відношення а.
IV - Площа n-го прямокутника (A_немає) можна отримати за формулою A_немає = a. (b + n - 1).

Перевірте альтернативу, яка містить правильні твердження.

там.
б) II.
в) III.
г) II та IV.
д) III та IV.

Див. Відповідь

Обчислюючи площу прямокутників, маємо:

A = a. B
THE₁ = a. (b + 1) = a. b + a
THE₂ = a. (b + 2) = a. Б. + 2-й
THE₃ = a. (b + 3) = a. b + 3a

Зі знайдених виразів зауважимо, що послідовність утворює П.А. відношення, рівне . Продовжуючи послідовність, ми знайдемо площу n-го прямокутника, яка задається:

THE_немає= a. b + (n - 1) .a
THE_немає = a. b + a. в

введення в якості доказів ми маємо:

THE_немає = a (b + n - 1)

Альтернатива: г) II та IV.

Вправа 3

UERJ

Слід визнати проведення чемпіонату з футболу, в якому попередження, отримані спортсменами, представлені лише жовтими картками. Ці картки перетворюються на штрафи згідно з наступними критеріями:

• Перші дві отримані картки не призводять до штрафу;
• Третя картка призводить до штрафу в розмірі 500,00 R $.
• Наступні картки призводять до штрафу, вартість якого завжди збільшується на 500,00 R $ по відношенню до вартості попереднього штрафу.

У таблиці наведені штрафи, пов’язані з першими п’ятьма картами, застосованими до спортсмена.

Розглянемо спортсмена, який отримав 13 жовтих карток під час чемпіонату. Загальна сума штрафів, отриманих усіма цими картками, в реалах:

а) 30000
б) 33 000
в) 36 000
г) 39 000

Див. Відповідь

Правильна відповідь: б) 33 000

Починаючи з третьої жовтої картки, сума штрафу збільшується в P.A. у співвідношенні 500,00 R $. Враховуючи перший член, a1, з вартістю третьої карти, R $ 500,00.

Щоб визначити загальну суму штрафів, ми повинні скористатися формулою суми строків ПА.

Оскільки у спортсмена 13 жовтих карток, але перші дві не приносять штрафу, ми складемо виграш у 13-2 терміни, тобто 11 термінів.

Таким чином, ми маємо такі значення:

a1 = 500
n = 11
r = 500

Щоб знайти значення n-го члена, a11, ми використовуємо загальну формулу терміна.

an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Застосовуючи формулу суми доданків P.A.

Розв’яжіть більше вправ у:

Арифметична прогресія - вправи

Дізнайтеся більше, також прочитавши:

• Числова послідовність
• Геометрична прогресія
• Геометрична прогресія - вправи
• Математичні формули