Складені відсотки представляють корекцію, застосовану до суми, яка була позичена або застосована. Цей вид корекції також називають відсотками за процентами.
Як вміст, який має велику застосовність, він часто з’являється на змаганнях, вступних іспитах та на Enem. Тому використовуйте наведені нижче запитання, щоб перевірити свою обізнаність із цим вмістом.
Коментовані запитання
1) Енем - 2018 рік
Кредитна угода передбачає, що коли внесок сплачується заздалегідь, знижка відсотків буде надана відповідно до авансового періоду. У цьому випадку виплачується теперішня вартість, яка є цінністю на той час, суми, яка повинна бути виплачена в майбутньому. Поточна вартість P, подана до складових відсотків за ставкою i протягом періоду n, дає майбутнє значення V, визначене за формулою
У кредитному договорі з шістдесятьма щомісячними фіксованими внесками на суму 820,00 R $ під процентну ставку 1,32% на місяць разом з тридцятим внеском ще один внесок буде сплачено заздалегідь, за умови, що знижка перевищує 25% від вартості порція.
Використовуйте 0,2877 як наближення для і 0,0131 як наближення до ln (1,0132).
Перший з внесків, який можна передбачити разом із 30-м, - це
а) 56-й
б) 55-й
в) 52-й
г) 51-й
д) 45-й
У запропонованому питанні ми хочемо з’ясувати, на який внесок, застосовуючи зниження відсотків при попередній оплаті, сплачена сума має знижку більше 25%, тобто:
Спростивши дріб (розділивши верх і низ на 25), виявивши, що сума, яку потрібно сплатити за попередній внесок, повинна становити:
Очікуваний внесок відповідає майбутній вартості, скоригованій на теперішню вартість, тобто зі знижкою на 1,32% відсотка при оплаті цього внеску до закінчення строку, тобто:
Де n дорівнює періоду, який передбачається. Замінивши цей вираз на попередній, маємо:
Оскільки 820 з'являється з обох сторін нерівності, ми можемо спростити, "скоротивши" це значення:
Ми можемо інвертувати дроби, обережно, щоб також інвертувати знак нерівності. Отже, наш вираз:
Зверніть увагу, що значення, яке ми хочемо знайти, знаходиться в показнику (n). Тому для вирішення нерівності ми застосуємо натуральний логарифм (ln) з обох сторін нерівності, тобто:
Тепер ми можемо підставити значення, зазначені в твердженні, і знайти значення n:
Оскільки n має бути більше знайденого значення, тоді нам доведеться передбачити 22 внески, тобто ми заплатимо 30-й внесок разом з 52-м (30 + 22 = 52).
Альтернатива: в) 52-а
2) Енем - 2011 рік
Молодий інвестор повинен вибрати, яка інвестиція принесе йому найбільший фінансовий прибуток при інвестиції в 500,00 рублів. Для цього він досліджує дохід та податок, який потрібно сплатити з двох інвестицій: заощаджень та CDB (банківський депозитний сертифікат). Отримана інформація узагальнена в таблиці:
Для молодого інвестора наприкінці місяця найбільш вигідним є застосування
а) заощадження, оскільки вони становитимуть 502,80 R $.
b) заощадження, оскільки вони становитимуть 500,56 R $.
в) CDB, оскільки загальна сума складе 504,38 R $.
г) CDB, оскільки загальна сума складе 504,21 R $.
e) CDB, оскільки загальна сума складе 500,87 R $.
Щоб дізнатись, яка найкраща врожайність, давайте обчислимо, скільки кожен з них дасть наприкінці місяця. Отже, почнемо з розрахунку доходу від заощаджень.
Розглядаючи дані про проблему, ми маємо:
c = 500,00 BRL
i = 0,560% = 0,0056 ранку
t = 1 місяць
М =?
Замінюючи ці значення у формулі складеного відсотка, маємо:
M = C (1 + i)т
Мзаощадження = 500 (1 + 0,0056)1
Мзаощадження = 500.1,0056
Мзаощадження = 502,80 бразильських реалів
Оскільки в цьому типі заявки відсутня знижка на податок на прибуток, то це буде викуплена сума.
Тепер давайте обчислимо значення для CDB. Для цієї програми процентна ставка дорівнює 0,876% (0,00876). Замінивши ці значення, ми маємо:
МКБР = 500 (1+0,00876)1
МКБР = 500.1,00876
МКБР = 504,38 BRL
Ця сума не буде сумою, отриманою інвестором, оскільки в цій заявці передбачена знижка 4%, стосовно податку на прибуток, який слід застосовувати до отриманих відсотків, як зазначено нижче:
J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38
Нам потрібно розрахувати 4% від цього значення, просто зробіть:
4,38.0,04 = 0,1752
Застосовуючи цю знижку до вартості, ми знаходимо:
504,38 - 0,1752 = 504,21 BRL
Альтернатива: г) CDB, оскільки загальна сума складе 504,21 R $.
3) UERJ - 2017
Капітал C реалів був вкладений під складні відсотки 10% на місяць і за три місяці приніс суму 53 240 російських доларів. Обчисліть значення в реалах початкового капіталу С.
У проблемі ми маємо такі дані:
M = 53240,00 BRL
i = 10% = 0,1 на місяць
t = 3 місяці
C =?
Замінюючи ці дані у формулі складених відсотків, ми маємо:
M = C (1 + i)т
53240 = C (1 + 0,1)3
53240 = 1,331 С
4) Фувест - 2018 рік
Марія хоче придбати телевізор, який продається за 1500,00 рублів готівкою або 3-х щомісячними безвідсотковими внесками по 500,00 рублів. Грошей, які Марія виділила на цю покупку, недостатньо для оплати готівкою, але вона виявила, що банк пропонує фінансові інвестиції, які заробляють 1% на місяць. Зробивши розрахунки, Марія дійшла висновку, що якщо вона сплатить перший внесок і того самого дня застосує решту суми, ви зможете сплатити два залишки, що залишилися, без необхідності вкладати або брати ні цента навіть не. Скільки Марія виділила на цю покупку в реалах?
а) 1450,20
б) 1480,20
в) 1485,20
г) 1495,20
д) 1490,20
У цій проблемі ми повинні зробити еквівалентність значень, тобто ми знаємо майбутню вартість, яку потрібно сплатити за кожен внесок, і ми хочемо знати теперішню вартість (капітал, який буде застосовано).
Для цієї ситуації ми використовуємо таку формулу:
Враховуючи, що заявка повинна дати 500,00 бразильських реалів на момент сплати другого внеску, який пройде через 1 місяць після сплати першого внеску, ми маємо:
Для сплати третього внеску також у розмірі 500,00 R $ сума застосовуватиметься протягом 2 місяців, тому застосована сума дорівнюватиме:
Таким чином, сума, яку Марія виділила на покупку, дорівнює сумі заявлених сум із сумою першого внеску, тобто:
V = 500 + 495,05 + 490,15 = 1485,20 бразильських реалів
Альтернатива: в) 1485,20 бразильських реалів
5) ЮНЕСП - 2005
Маріо взяв позику в розмірі 8 000,00 рублів під 5% відсотків на місяць. Через два місяці Маріо виплатив позику в розмірі 5000 доларів, а через місяць після цієї виплати він сплатив увесь борг. Вартість останнього платежу становила:
а) 3015 BRL.
б) 3820,00 BRL.
в) 4011,00 BRL.
г) 5011,00 BRL.
д) 5250,00 BRL.
Ми знаємо, що позика була виплачена двома частинами, і що ми маємо такі дані:
VP = 8000
i = 5% = 0,05 м
VF1 = 5000
VF2 = х
Розглядаючи дані та роблячи еквівалентність капіталів, ми маємо:
Альтернатива: c) 4011,00 R $.
6) PUC / RJ - 2000
Банк нараховує процентну ставку в розмірі 11% на місяць за послугу овердрафту. За кожні 100 реалів овердрафту банк стягує 111 за перший місяць, 123.21 за другий тощо. На суму 100 реалів наприкінці року банк стягуватиме приблизно:
а) 150 реалів.
б) 200 реалів
в) 250 реалів.
г) 300 реалів.
д) 350 реалів.
На основі інформації, наведеної в проблемі, ми виявили, що корекція суми, яка стягується за овердрафтом, здійснюється шляхом складених відсотків.
Зверніть увагу, що сума, що стягується за другий місяць, була розрахована з урахуванням суми, вже скоригованої за перший місяць, тобто:
J = 111. 0,11 = 12,21 BRL
M = 111 + 12,21 = 123,21 BRL
Отже, щоб знайти суму, яку банк стягуватиме наприкінці року, застосуємо формулу складених відсотків, тобто:
M = C (1 + i)т
Буття:
C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 на місяць
t = 1 рік = 12 місяців
М = 100 (1 + 0,11)12
М = 100.1.1112
М = 100,3498
Альтернатива: д) 350 реалів
Щоб дізнатись більше про цю тему, також прочитайте:
- Процент
- Як розрахувати відсоток?
- Відсотки вправ
- Математичні формули
- Математика в Енемі
