Перестановка - це техніка підрахунку, яка використовується, щоб визначити, скільки способів впорядкувати елементи кінцевої множини. Здійснювати обмін означає виконувати обмін, а в задачах комбінаторики це означає обмін елементами місця з урахуванням їх упорядкування.
Ці методи є частиною галузі математики, яка називається комбінаторним аналізом, метою якої є знання та підрахунок різних способів організації множин та їх елементів. Проста перестановка та a з повторюваними елементами вирішують цю категорію проблем.
проста перестановка
Проста перестановка - це впорядкування елементів кінцевої множини, коли вони елементи не повторюються, відрізняються. За його допомогою визначають кількість цих сортів.
Кількість перестановок набору з n елементів дорівнює n! (читає російський факторіал).
Формула для визначення кількості простих перестановок є
Розглянемо множину з n елементами. Щоб організувати їх у черзі, нам потрібно вибрати перший, і для цього у нас є n можливостей. Щоб вибрати другий, ми маємо (n-1) можливостей, на одну менше, оскільки ми вже використовували опцію при виборі першої. Цей процес триває, поки не залишиться лише один елемент.
Щоб визначити загальну кількість перестановок, ми множимо кількість можливостей, які існують при виборі кожного елемента. Отже:
Вираз вище називається факторіалом n, і ми використовуємо символ немає!.
дізнатися більше про факторіал тут.
Приклад:
Різні способи упорядкування букв слова називаються анаграмами. Скільки анаграм на слово КАЧКА?
Ось такі можливості:
Отже, оскільки слово PATO має 4 букви, ми повинні
Отже, існує 24 простих перестановок для слова DUCK.
Прості вправи на перестановку
питання 1
Обчисліть значення .
питання 2
Розгляньте чергу людей, які прийшли, хто першим обслужив, де в будь-який момент часу є шість людей. Скільки різних способів ці люди могли бути класифіковані від першого до останнього?
Кожна форма впорядкування - це проста перестановка, оскільки люди є унікальними і не повторюються. Отже, у випадку із шістьма людьми відповідь - перестановка з 6 елементів.
питання 3
Розгляньте слово FORK і дайте відповіді на наступні запитання?
а) Скільки анаграм слова ВИЛКА?
Оскільки букви не повторюються, це простий 5-елементний випадок перестановки.
б) Скільки анаграм починаються з літери А?
У цьому випадку ми фіксуємо букву А на початку і обчислюємо перестановки буквами GRFO, які є перестановками 4 елементів.
1 можливість для букви A x .
в) Скільки існує анаграм, якщо голосні завжди знаходяться поруч?
Однією з можливостей може бути G R F A O.
Є три способи упорядкування приголосних. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Існує два способи упорядкування голосних. P2 = 2 x 1 = 2
Є ще два способи організації груп (приголосних та голосних) між собою. P2 = 2 x 1 = 2
Тепер просто помножте результати.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Отже, існує 24 анаграми, де голосні завжди знаходяться разом.
Перестановка з повторенням
Перестановка з повторюваними елементами відбувається, коли в наборі з n елементів деякі з них рівні.
У формулі для визначення кількості перестановок з повторенням ми ділимо факторіал загальної кількості n елементів на добуток на факторіали повторюваних елементів.
- кількість перестановок з n елементів.
це числа елементів кожного типу, які повторюються.
- факторіал загальної кількості елементів n.
Приклади
Давайте визначимо, скільки існує перестановок для слова EGG. Щоб було простіше, давайте розфарбуємо літери. Давайте розглянемо анаграми слова EGG.
Кількість простих перестановок з 3 елементами визначається як
Однак деякі перестановки повторюються, і ми не можемо їх порахувати двічі. Для цього ми повинні розділити значення (оскільки слово має три літери), by
(бо буква О повторюється двічі).
Таким чином, кількість перестановок для букв слова OVO дорівнює 3.
Давайте розглянемо цей інший приклад, де ми визначимо кількість перестановок для букв слова BANANA.
Де:
означає перестановку з 6 елементів, де букви A і N повторюються.
3! бо буква А повторюється тричі.
2! бо буква N повторюється двічі.
Порада для спрощення обчислення - це розробка 6! поки не досягнеш 3!, спрощуючи знаменником. Подивіться розвиток.
Таким чином, кількість перестановок для букв у слові BANANA дорівнює 60.
Можливо, вас цікавить цей зміст з комбінаторного аналізу:
Комбінаторний аналіз
Вправи з комбінаторного аналізу
