Розрахунок зворотної матриці: властивості та приклади

Обернена матриця або обернена матриця - це тип квадратна матриця, тобто має однакову кількість рядків (m) і стовпців (n).

Це відбувається, коли добуток двох матриць призводить до a матриця ідентичності того самого порядку (однакова кількість рядків і стовпців).

Таким чином, для знаходження оберненого до матриці використовується множення.

THE. B = B. A = I_немає (коли матриця B обернена до матриці A)

Але що таке Матриця особистості?

THE Матриця особистості визначається, коли елементи основної діагоналі дорівнюють 1, а інші елементи дорівнюють 0 (нулю). Це позначається I_немає:

Властивості зворотної матриці

• Для кожної матриці існує лише одна обернена.
• Не всі матриці мають інверсну матрицю. Він оборотний лише тоді, коли добутки квадратних матриць дають тотожну матрицю (I_немає)
• Обернена матриця оберненого відповідає самій матриці: A = (A^-1)^-1
• Матриця, транспонована з оберненої матриці, також є оберненою: (A^т) ^-1 = (A^-1)^т
• Обернена матриця транспонованої матриці відповідає транспонуванню зворотного: (A^-1 THE^{т) -1}
• Обернена матриця ідентичності матриці дорівнює матриці ідентичності: I^-1 = Я

Дивіться теж: Матриці

Приклади зворотних матриць

2x2 інверсна матриця

3x3 інверсна матриця

Крок за кроком: Як обчислити обернену матрицю?

Ми знаємо, що якщо добуток двох матриць дорівнює одиничній матриці, ця матриця має обернене значення.

Зверніть увагу, що якщо матриця A є оберненою до матриці B, використовується позначення: A^-1.

Приклад: Знайдіть обернену до матриці нижче порядку 3x3.

Перш за все, ми повинні пам’ятати, що А. THE^-1 = I (Матриця, помножена на її обернену, призведе до ідентичності матриці I_немає).

Кожен елемент першого рядка першої матриці множиться на кожен стовпець другої матриці.

Отже, елементи другого рядка першої матриці множаться на стовпці другої.

І нарешті, третій рядок першого зі стовпцями другого:

Порівнюючи елементи з матрицею ідентичності, ми можемо виявити значення:

a = 1
b = 0
c = 0

Знаючи ці значення, ми можемо обчислити інші невідомі в матриці. У третьому рядку та першому стовпці першої матриці маємо + 2d = 0. Отже, почнемо з пошуку значення d, замінивши знайдені значення:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Так само, у третьому рядку та другому стовпці ми можемо знайти значення і:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Продовжуючи, ми маємо в третьому рядку третього стовпця: c + 2f. Зверніть увагу, що друга матриця ідентичності цього рівняння не дорівнює нулю, а дорівнює 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Переходячи до другого рядка і першого стовпця, ми знайдемо значення g:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

У другому рядку та другому стовпці ми можемо знайти значення H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Нарешті, давайте знайдемо значення i за рівнянням другого рядка і третього стовпця:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
i = 3/2

Після виявлення всіх невідомих значень ми можемо знайти всі елементи, що складають обернену матрицю A:

Вправи з вступним іспитом із відгуками

1. (Cefet-MG) Матриця є оберненим до
Можна правильно сказати, що різниця (x-y) дорівнює:

а) -8
б) -2
в) 2
г) 6
д) 8

Див. Відповідь

Альтернатива e: 8

2. (UF Viçosa-MG) Нехай матриці:

Де x і y - дійсні числа, а M - обернена матриця A. Отже, продукт xy:

а) 3/2
б) 2/3
в) 1/2
г) 3/4
д) 1/4

Див. Відповідь

Альтернатива: 3/2

3. (PUC-MG) Зворотна матриця матриці це те саме, що:

The)
Б)
ç)
г)
і)

Див. Відповідь

Альтернатива b:

Читайте теж:

• Матриці - Вправи
• Матриці та детермінанти
• Типи матриць
• Транспонована матриця
• Множення матриць