Комплексні числа: визначення, операції та вправи

Комплексні числа - це числа, складені з дійсної та уявної частини.

Вони представляють сукупність усіх упорядкованих пар (x, y), елементи яких належать до множини дійсних чисел (R).

Набір комплексних чисел позначається символом Ç і визначається операціями:

• Рівність: (a, b) = (c, d) ↔ a = c і b = d
• Додавання: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
• Множення: (a, b). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Уявна одиниця (i)

Позначається листом i, уявною одиницею є впорядкована пара (0, 1). Незабаром:

i. i = -1 ↔ i² = –1

Таким чином, i - квадратний корінь з –1.

Алгебраїчна форма Z

Алгебраїчна форма Z використовується для представлення комплексного числа за формулою:

Z = x + yi

Де:

• х - дійсне число, позначене x = Re (Z), що викликається реальна частина z.
• р - дійсне число, позначене y = Im (Z), що викликається уявна частина Z.

Спряжений складний номер

Кон'югат комплексного числа позначається символом z, визначений z = a - bi. Таким чином, обмінюється знак його уявної частини.

Отже, якщо z = a + bi, то z = a - bi

Коли ми множимо комплексне число на його спряжене, результатом буде дійсне число.

Рівність між складними числами

Будучи двома комплексними числами Z₁ = (a, b) та Z₂ = (c, d), вони рівні, коли a = c і b = d. Це тому, що вони мають однакові реальні та уявні частини. Отже:

a + bi = c + di Коли a = c і b = d

Операції зі складними числами

За допомогою комплексних чисел можна виконувати операції додавання, віднімання, множення та ділення. Перегляньте визначення та приклади нижче:

Додавання

Z₁ + Z₂ = (a + c, b + d)

В алгебраїчній формі ми маємо:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Приклад:

(2 + 3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Віднімання

Z₁ - Z₂ = (a - c, b - d)

В алгебраїчній формі ми маємо:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)

Приклад:

(4 - 5i) - (2 + i)
(4 - 2) + i (–5 –1)
2 - 6i

Множення

(а, б). (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

В алгебраїчній формі ми використовуємо розподільну властивість:

(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (i² = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci - bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)

Приклад:

(4 + 3i). (2 - 5i)
8 - 20i + 6i - 15i²
8 - 14i + 15
23 - 14і

Відділ

Z₁/ Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂. Z₃

У наведеній вище рівності, якщо Z₃ = x + yi, маємо:

Z₁ = Z₂. Z₃

a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)

За системою невідомих x і y маємо:

cx - dy = a
dx + cy = b

Незабаром,

x = ac + bd / c² + d²
y = bc - ad / c² + d²

Приклад:

2 - 5i / i
2 - 5i /. (- i) / (- i)
-2i + 5i²/–i²
5 - 2і

Вправи з вступним іспитом із відгуками

1. (UF-TO) Поміркуйте i уявна одиниця комплексних чисел. Значення виразу (i + 1)⁸ é:

а) 32і
б) 32
в) 16
г) 16і

Див. Відповідь

Альтернатива c: 16

2. (UEL-PR) Комплексне число z, яке перевіряє рівняння iz - 2w (1 + i) = 0 (w вказує на спряженість z):

а) z = 1 + i
б) z = (1/3) - i
в) z = (1 - i) / 3
d) z = 1 + (i / 3)
д) z = 1 - i

Див. Відповідь

Альтернатива e: z = 1 - i

3. (Vunesp-SP) Розглянемо комплексне число z = cos π / 6 + i sin π / 6. Значення Z³ + Z⁶ + Z¹² é:

там
б) ½ + √3 / 2i
в) i - 2
г) я
д) 2і

Див. Відповідь

Альтернатива d: i

Ознайомтеся з додатковими запитаннями, із коментарем, у Вправи на складні числа.

Відео уроки

Щоб розширити свої знання про комплексні числа, перегляньте відео "Вступ до складних чисел"

Вступ до комплексних чисел

Історія комплексних чисел

Відкриття комплексних чисел було зроблено в 16 столітті завдяки внеску математика Джироламо Кардано (1501-1576).

Однак лише у 18 столітті ці дослідження формалізував математик Карл Фрідріх Гаус (1777-1855).

Це був великий крок вперед в математиці, оскільки від’ємне число має квадратний корінь, що до відкриття комплексних чисел вважалося неможливим.

Щоб дізнатись більше, див. Також

• Числові множини
• Поліноми
• ірраціональні числа
• Рівняння 1 ступеня
• Потенціювання та випромінювання