О Теорема Піфагора перераховує довжину сторін прямокутного трикутника. Ця геометрична фігура утворена внутрішнім кутом 90 °, який називається прямим кутом.
Твердження цієї теореми:
"Сума квадратів ваших ніг відповідає квадрату вашої гіпотенузи."
Формула теореми Піфагора
Відповідно до твердження теореми Піфагора, формула представлена таким чином:
2 = b2 + c2
Бути,
: гіпотенуза
B: катето
ç: катето
THE гіпотенуза - найдовша сторона прямокутного трикутника і сторона, протилежна прямому куту. Дві інші сторони - це ноги. Кут, утворений цими двома сторонами, має міру, рівну 90º (прямий кут).
Ми також ідентифікували ніжки відповідно до контрольного кута. Тобто стороною можна назвати сусідню сторону або протилежну сторону.
Коли катет близько до опорного кута, він називається а сусідній, з іншого боку, якщо це проти цього кута, це називається протилежний.
Нижче наведено три приклади застосування теореми Піфагора до метричних відношень прямокутного трикутника.
Приклад 1: обчислити міру гіпотенузи
Якщо прямокутний трикутник має міри катетів 3 см і 4 см, яка гіпотенуза цього трикутника?
Отже, сторони прямокутного трикутника дорівнюють 3 см, 4 см і 5 см.
Приклад 2: обчислити міру однієї з катетів
Визначте міру катета, який є частиною прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює 20 см, а інший катет має розмір 16 см.
Отже, вимірювання сторін прямокутного трикутника дорівнюють 12 см, 16 см і 20 см.
Приклад 3: перевірити, чи є трикутник прямокутником
Трикутник має сторони розмірами 5 см, 12 см і 13 см. Як дізнатися, чи це прямокутний трикутник?
Щоб довести, що прямокутний трикутник є істинним, вимірювання його сторін повинні підкорятися теоремі Піфагора.
Оскільки наведені міри задовольняють теорему Піфагора, тобто квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадрата катетів, то можна сказати, що трикутник - це прямокутник.
Читайте також: Метричні співвідношення у прямокутному трикутнику
Піфагорейський трикутник
Коли вимірюють сторони a прямокутний трикутник є цілими додатними числами, трикутник називається піфагорівським трикутником.
У цьому випадку ноги та гіпотенуза називаються “піфагорійська масть” або “піфагорійське тріо”. Щоб перевірити, чи утворюють три числа піфагорійське тріо, ми використовуємо відношення до2 = b2 + c2.
Найвідоміше піфагорійське тріо представлено цифрами: 3, 4, 5. Гіпотенуза дорівнює 5, більший катет дорівнює 4 і менший катет дорівнює 3.
Зверніть увагу, що площа квадратів, намальованих на кожній стороні трикутника, пов’язана так само, як і Теорема Піфагора: площа квадрата на довгій стороні відповідає сумі площ двох інших площа.
Цікаво, що кратні цим числам також утворюють піфагорійську масть. Наприклад, якщо помножити тріо 3, 4 і 5 на 3, ми отримаємо числа 9, 12 і 15, які також утворюють піфагорійську масть.
На додаток до костюмів 3, 4 та 5 існує безліч інших костюмів. Як приклад можна назвати:
- 5, 12 і 13
- 7, 24, 25
- 20, 21 та 29
- 12, 35 та 37
Читайте також: Тригонометрія в трикутнику прямокутника
Ким був Піфагор?
згідно історії Піфагор із Самосу (570 а. Ç. - 495 а. C.) - грецький філософ і математик, який заснував Піфагорейську школу, розташовану на півдні Італії. Його також називали Піфагорейським товариством, воно включало вивчення математики, астрономії та музики.
Хоча метричні співвідношення прямокутного трикутника були відомі ще вавилонянам, які жили задовго до Піфагора, вважається, що перший доказ того, що ця теорема застосовується до будь-якого прямокутного трикутника, був зроблений Піфагор.
Теорема Піфагора - одна з найвідоміших, найважливіших і найбільш використовуваних теорем у математиці. Це має важливе значення при вирішенні завдань з аналітичної геометрії, геометрії площини, просторової геометрії та тригонометрії.
На додаток до теореми, іншими важливими внесками Піфагорейського товариства математики були:
- Відкриття ірраціональних чисел;
- Властивості цілих чисел;
- MMC та MDC.
Читайте також: Математичні формули
Докази теореми Піфагора
Існує кілька способів довести теорему Піфагора. Наприклад, книга Пропозиція Піфагора, опублікований у 1927 р., представив 230 способів продемонструвати це, а інше видання, що вийшло в 1940 р., збільшилось до 370 демонстрацій.
Перегляньте відео нижче та ознайомтеся з деякими демонстраціями теореми Піфагора.
Коментовані вправи з теореми Піфагора
питання 1
(PUC) Сума квадратів трьох сторін прямокутного трикутника дорівнює 32. Скільки часу триває гіпотенуза трикутника?
а) 3
б) 4
в) 5
г) 6
Правильна альтернатива: б) 4.
З інформації у заяві ми знаємо, що2 + b2 + c2 = 32. З іншого боку, згідно теореми Піфагора ми маємо2 = b2 + c2 .
Заміна значення b2+ c2 по2 у першому виразі ми знаходимо:
2 +2 =32 ⇒ 2.2 = 32 ⇒ до2 = 32/2 ⇒ до2 = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4
Щоб отримати додаткові запитання, див. Теорема Піфагора - вправи
питання 2
(І будь-який)
На малюнку вище, який представляє конструкцію сходів з 5 сходинками однакової висоти, загальна довжина поручня дорівнює:
а) 1,9 м
б) 2,1 м
в) 2,0 м
г) 1,8м
д) 2,2 м
Правильна альтернатива: б) 2,1 м.
Загальна довжина поручня буде дорівнювати сумі двох ділянок довжиною, що дорівнюють 30 см з тим перерізом, для якого ми не знаємо міри.
З малюнка ми можемо спостерігати, що невідомий переріз представляє гіпотенузу прямокутного трикутника, міра якого одного з катетів дорівнює 90 см.
Щоб знайти міру іншої ноги, ми повинні додати довжину 5 кроків. Отже, маємо b = 5. 24 = 120 см.
Для обчислення гіпотенузи застосуємо до цього трикутника теорему Піфагора.
2 = 902 + 1202 до2 = 8100 + 14 400 ⇒ до2 = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 см
Зверніть увагу, що ми могли використати ідею піфагорійських мастей для обчислення гіпотенузи, оскільки катети (90 і 120) кратні масті 3, 4 і 5 (множимо всі доданки на 30).
Таким чином, загальна міра поручня буде:
30 + 30 + 150 = 210 см = 2,1 м
Перевірте свої знання за допомогою Вправи з тригонометрії
питання 3
(UERJ) Міллер Фернандес, в прекрасній данині математиці, написав вірш, з якого ми витягуємо фрагмент нижче:
На стільки аркушів книги з математики,
Квоєнт одного дня шалено закохався
невідомим.
Він подивився на неї своїм незліченним поглядом
і він бачив її від верхівки до основи: дивна фігура;
ромбоподібні очі, рот трапеції,
прямокутне тіло, сфероїдні груди.
Зробив своє життя паралельним її,
поки вони не зустрілися в Нескінченності.
"Хто ти?" - запитав він у радикальній тривозі.
“Я - сума квадратів ніг.
Але ви можете назвати мене гіпотенузою.”
(Міллер Фернандес. Тридцять років себе.)
Інкогніта помилилася, сказавши, хто це. Щоб виконати теорему Піфагора, слід зробити наступне
а) “Я - квадрат суми катетів. Але називайте мене квадратом гіпотенузи ".
б) «Я сума ніг. Але ви можете назвати мене гіпотенузою ".
в) «Я - квадрат суми катетів. Але ви можете назвати мене гіпотенузою ".
г) «Я сума квадратів ніг. Але називайте мене квадратом гіпотенузи ".
Альтернатива г) «Я - сума квадратів ніг. Але називайте мене квадратом гіпотенузи ".
Дізнайтеся більше про тему:
- рівнобедрений трикутник
- Синус, косинус і тангенс
- Математика в Енемі
