Вправи з числовим набором

ти числові множини включають такі набори: Naturals (ℕ), Integers (ℤ), Rationals (ℚ), Irrationals (I), Real (ℝ) та Complexes (ℂ).

Скористайтеся перерахованими вправами, щоб перевірити свої знання з цього важливого предмету математики.

питання 1

Яке твердження нижче відповідає дійсності?

а) Кожне ціле число є раціональним, а кожне дійсне число є цілим числом.
б) Перетин множини раціональних чисел з множиною ірраціональних чисел має 1 елемент.
в) Число 1,83333... є раціональним числом.
г) Ділення двох цілих чисел - це завжди ціле число.

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: в) Число 1.83333... є раціональним числом.

Давайте розглянемо кожне із тверджень:

а) Помилковий. Насправді кожне ціле число є раціональним, оскільки його можна записати у вигляді дробу. Наприклад, число -7, яке є цілим числом, можна записати у вигляді дробу як -7/1. Однак не кожне дійсне число є цілим числом, наприклад 1/2 не є цілим числом.

б) Невірно. Набір раціональних чисел не має спільного числа з ірраціональними, оскільки дійсне число є або раціональним, або ірраціональним. Отже, перетин - це порожня множина.

в) Правда. Число 1.83333... це періодична десятина, оскільки цифра 3 повторюється нескінченно. Це число можна записати дробом як 11/6, тому воно є раціональним числом.

г) Невірно. Наприклад, 7, поділене на 3, дорівнює 2,33333..., що є періодичним десятковим знаком, тому це не ціле число.

питання 2

Значення виразу нижче, коли a = 6 і b = 9, становить:

а) непарне натуральне число
б) число, яке належить до безлічі ірраціональних чисел
в) не є дійсним числом
г) ціле число, модуль якого більший за 2

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: г) ціле число, модуль якого перевищує 2.

Спочатку замінимо літери вказаними значеннями і розв’яжемо вираз:

Зверніть увагу, що (-6)² відрізняється від - 6², перша операція може бути виконана як: (-6)² = (- 6). (- 6) = 36. Без дужок у квадрат входить лише 6, тобто - 6² = - (6.6) = -36.

Продовжуючи резолюцію, ми маємо:

Зауважте, що оскільки індекс кореня - непарне число (кубічний корінь), у множині дійсних чисел є корінь від’ємного числа. Якби кореневий індекс був парним числом, результатом було б комплексне число.

Тепер давайте проаналізуємо кожен із запропонованих варіантів:

Варіант є неправильним, оскільки відповідь - від’ємне число, яке не входить до набору натуральних чисел.

Число - 3 не є нескінченним неперіодичним десятковим знаком, отже, воно не є ірраціональним, отже, буква B це теж не правильне рішення.

Лист ç також є помилковим, оскільки число - 3 - це число, що належить до множини дійсних чисел.

Правильним варіантом може бути лише буква d і насправді результатом виразу є ціле число, а модуль -3 дорівнює 3, що більше 2.

питання 3

У наборах (A та B) у таблиці нижче, яка альтернатива представляє відношення включення?

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: а)

Альтернатива "а" - єдина, в якій один комплект включений в інший. Набір A включає набір B або набір B входить в A.

Тож які твердження правильні?

I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A

а) I та II.
б) I та III.
в) I та IV.
г) II та III.
д) II та IV

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: г) ІІ та ІІІ.

I - Неправильно - A не міститься в B (A Ȼ B).
II - Правильно - B міститься в A (B C A).
III - Правильно - A містить B (B Ɔ A).
IV - Неправильно - B не містить A (B ⊅ A).

питання 4

Маємо множину A = {1, 2, 4, 8 та 16} та множину B = {2, 4, 6, 8 та 10}. Згідно з альтернативами, де розташовані елементи 2, 4 та 8?

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: в).

Елементи 2, 4 і 8 є загальними для обох наборів. Отже, вони розташовані в підмножині A ∩ B (перетин А з B).

питання 5

З огляду на набори A, B і C, яке зображення представляє A U (B ∩ C)?

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: d)

Єдина альтернатива, яка задовольняє початковій умові B ∩ C (через дужки) і, згодом, об’єднанню з A.

питання 6

Було проведено опитування, щоб дізнатись про купівельні звички споживачів стосовно трьох товарів. Дослідження отримало наступні результати:

• 40% купити товар А.
• 25% купити товар B.
• 33% купують продукт C.
• 20% купують товари А та Б.
• 5% купують товари B і C.
• 19% купують товари A і C.
• 2% купують усі три товари.

На основі цих результатів дайте відповідь:

а) Який відсоток респондентів не купує жодного з цих продуктів?
б) Який відсоток респондентів купує товар А і В, а не купує товар С?
в) Який відсоток респондентів купує хоча б один із продуктів?

Див. Відповідь

Відповіді:
а) 44% респондентів не вживають жодного з трьох продуктів.
б) 18% людей, які споживають обидва продукти (А і В), не вживають продукт С.
в) 56% респондентів споживають хоча б один із продуктів.

Щоб вирішити цю проблему, давайте складемо схему для кращої візуалізації ситуації.

Ми завжди повинні починати з перетину трьох множин. Потім ми включимо значення перетину двох наборів і, нарешті, відсоток людей, які купують лише одну марку товару.

Помічено, що відсоток людей, які споживають два продукти, також включає відсоток людей, які споживають ці три продукти.

Тому на діаграмі ми вказуємо відсоток тих, хто споживає лише два вироби. Для цього ми повинні відняти відсоток тих, хто споживає три продукти, від тих, хто споживає два.

Наприклад, зазначений відсоток, який споживає продукт А та продукт В, становить 20%, однак це значення враховується у 2%, що стосується того, хто споживає ці три продукти.

Віднімаючи ці значення, тобто 20% - 2% = 18%, ми знаходимо відсоток споживачів, які купують лише товари А та В.

Враховуючи ці розрахунки, діаграма для описаної ситуації буде такою, як показано на малюнку нижче:

На основі цієї діаграми ми можемо продовжувати відповідати на запропоновані запитання.

The) Відсоток тих, хто не купує жодного товару, дорівнює цілому, тобто 100%, за винятком того, що вони споживають будь-який товар. Отже, ми повинні зробити наступний розрахунок:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

Незабаром, 44% респондентів не вживають жодного з трьох продуктів.

Б) Відсоток споживачів, які купують товари А і В, а не купують товар С, знаходять, віднімаючи:

20 - 2 = 18%

Отже, 18% людей, які споживають обидва продукти (A і B), не вживають продукт C.

ç) Щоб знайти відсоток людей, які споживають хоча б один із продуктів, просто складіть усі значення на діаграмі. Отже, маємо:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

Таким чином, 56% респондентів споживають хоча б один із продуктів.

питання 7

(Enem / 2004) Виробник косметики вирішує випустити три різні каталоги своєї продукції, орієнтовані на різну аудиторію. Оскільки деякі товари будуть представлені в декількох каталогах і займуть цілу сторінку, він вирішує зробити підрахунок, щоб зменшити витрати на друковані оригінали. Каталоги С1, С2 та С3 матимуть відповідно 50, 45 та 40 сторінок. Порівнюючи дизайни з кожного каталогу, він виявляє, що C1 і C2 матимуть 10 спільних сторінок; С1 і С3 матимуть 6 спільних сторінок; С2 та С3 матимуть 5 спільних сторінок, з яких 4 також будуть на С1. Виконуючи відповідні розрахунки, виробник дійшов висновку, що для складання трьох каталогів йому буде потрібно загальна кількість друкованих оригіналів, рівна:

а) 135
б) 126
в) 118
г) 114
д) 110

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: в) 118

Ми можемо вирішити це питання, побудувавши діаграму. Для цього почнемо зі сторінок, загальних для трьох каталогів, тобто 4 сторінок.

Звідти ми будемо вказувати значення, віднімаючи ті, що вже були враховані. Таким чином, схема буде такою, як зазначено нижче:

Значення були знайдені, зробивши такі розрахунки:

• Перетин С1, С2 і С3: 4
• Перетин С2, С3: 5 - 4 = 1
• Перетин С1 і С3: 6 - 4 = 2
• Перетин С1 і С2: 10 - 4 = 6
• Тільки C1: 50 - 12 = 38
• Тільки C2: 45-11 = 34
• Тільки C3: 40 - 7 = 33

Щоб знайти кількість сторінок, просто додайте всі ці значення, тобто:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

питання 8

(Enem / 2017) У цій моделі термометра філе фіксує мінімальну та максимальну температури попередньої доби і сіре філе реєструє поточну температуру навколишнього середовища, тобто на момент зчитування термометр.

Тож він має дві колонки. Зліва цифри в порядку зростання, зверху вниз, від -30 ° C до 50 ° C. У стовпці праворуч цифри впорядковані за зростанням, знизу вгору, від -30 ° C до 50 ° C.

Читання виконується наступним чином:

• мінімальна температура позначається нижчим рівнем чорного філе в лівій колонці.
• максимальна температура вказується на нижньому рівні чорного філе в правій колонці.
• поточна температура позначається верхнім рівнем у сірому філе в двох колонках.

Яка найближча максимальна температура, зафіксована на цьому термометрі?

а) 5 ° С
б) 7 ° С
в) 13 ° С
г) 15 ° С
д) 19 ° С

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: e) 19 ° C

Щоб вирішити проблему, просто прочитайте шкалу в правій колонці чорного філе, яка представляє максимальну температуру.

питання 9

(Enem / 2017) Результат опитування виборців щодо переваги виборців щодо двох кандидатів був представлений на графіку 1.

Коли цей результат було опубліковано в газеті, під час верстки графік 1 вирізався, як показано на графіку 2.

Хоча представлені значення є правильними, а ширина стовпців однаковою, багато читачів критикував формат графіку 2, надрукований у газеті, стверджуючи, що кандидат мав візуальну шкоду Б. Різниця між коефіцієнтами висоти стовпця В та стовпця А на графіках 1 та 2 становить:

а) 0
б) 1/2
в) 1/5
г) 2/15
д) 8/35

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: д) 8/35

Щоб вирішити проблему, спочатку потрібно знайти відношення висоти стовпця B до стовпця A на двох графіках. Ці співвідношення знаходять, підраховуючи, скільки поділів є в кожному стовпці.

Зверніть увагу, що на графіку 1 стовпець A розділений на 7 рівних "частин", тоді як стовпець B на 3. На графіку 2 стовпець A розділений на 5 рівних "частин", а стовпець B - лише на 1.

Отже, частки, що представляють відношення висоти стовпця В до стовпця А, можуть бути позначені

Тепер просто розв’яжіть віднімання між цими двома дробами, отже, маємо:

питання 10

(Enem / 2018) Для створення логотипу професіонал у галузі графічного дизайну хоче побудувати його, використовуючи набір плоских точок у формі трикутника, точно так, як показано на зображенні.

Для побудови такого зображення за допомогою графічного інструменту потрібно буде алгебраїчно записати набір, що представляє точки цієї графіки.

Цей набір задається упорядкованими парами (x; у) ℕ х ℕ, такий як
а) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
б) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
в) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
г) 0 ≤ x + y ≤ 10
д) 0 ≤ x + y ≤ 20

Див. Відповідь

Правильна альтернатива: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10

Зверніть увагу, що цифра, висловлена ​​у питанні, як на осі y, так і на x, містить натуральні числа (ℕ х ℕ) від 0 до 10. Ми мусимо: 0 ≤ y ≤ 10 і 0 ≤ x ≤ 10.

Таким чином: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) та x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Однак зображена фігура являє собою трикутник. Щоб задовольнити цю умову, впорядкованими парами y не може бути більше x.

Зверніть увагу, що значення y обмежуються рівністю зі значеннями x, утворюючи гіпотенузу цього прямокутного трикутника: (0,0), (1; 1), (2; 2), (3; 3 ), (4; 4), (5; 5)... (10; 10).

Таким чином, ми маємо: y ≤ x.

Незабаром, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.

Щоб дізнатись більше, читайте також:

• Числові множини
• дійсних чисел
• Цілі числа
• Раціональні числа
• ірраціональні числа
• Натуральні числа
• Комплексні числа
• Вправи на наборах
• Вправи на складні числа