Ми знаємо як дійсні числа всі раціональні числа і ірраціональний. Вивчаючи числові множини, важливо розуміти, що вони слідують потребам та історії людства, числові набори:
- набір натуральних чисел
- ціле число встановлено
- набір раціональних чисел
- набір ірраціональних чисел
- набір дійсних чисел
ти дійсні числа мають властивості такі як: асоціативний, комутативний, існування нейтрального елемента для додавання та множення, існування оберненого елемента при множенні та розподільчий. дійсних чисел може бути представлена на дійсній лінії - як упорядковано представляти їх.
Читайте також: Що таке прості числа?
Які реальні числа?
Ми знаємо як дійсні числа множину, утворену об'єднання раціональних та ірраціональних чисел. Працювати з ними досить часто, але набір дійсних чисел з’явився не першим в історії.
натуральні числа
О перший числовий набір його утворили натуральні числа. Вони були створені на основі основної потреби людей рахувати і рахувати предмети свого повсякденного життя. ти натуральні числа вони є:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
цілі числа
З еволюцією суспільства потяги людини змінювались і потрібно працювати з від’ємними числами. Такі операції, як 4 - 6, які в наборі натуральних чисел не мали сенсу, почали це робити з появою цього нового набору. Безліч цілі числа придумав додавання від’ємних чисел до набору натуральних чисел, тобто воно утворюється натуральними числами і протилежними їм.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
раціональні числа
Виявляється, навіть незважаючи на це, з додаванням від’ємних чисел, набору цілих чисел було недостатньо, оскільки Стародавній Єгипет, досить часто використовується число, яке не є цілим числом. Саме тоді усвідомилась необхідність формалізувати новий набір: набір, сформований усіма числа, які можна представити дробом відомий як раціональні числа.
На відміну від набору цілих чисел, у раціональному неможливо написати список термінів з їх попередниками та наступниками, оскільки, враховуючи раціональні числа, завжди буде інше раціональне число між ними. Наприклад, між 1 і 2 існує 1,5; між 1 і 1,5 - 1,25; і так далі. Тому для представлення раціональних чисел ми використовуємо такі позначення:
У цьому позначенні раціональним числом є число, яке можна представити дробом під B, про те, що є цілим числом і B є ненульовим цілим числом.
У множині раціональних чисел, були включені всі цілі числа які вже були відомі, оскільки всі вони можуть бути представлені у вигляді дробу, на додаток до точних десяткових чисел та періодична десятина, позитивні та негативні.
Дивіться також: Що таке порядкові числівники?
ірраціональні числа
На відміну від визначення раціональних чисел, існують числа, які неможливо представити у вигляді дробу. Деякі математики вивчали їх вчасно, намагаючись зробити це подання, але це неможливо. Ці цифри є неперіодична десятина і коріння не точно, які в результаті генерують неперіодичну десятину в результаті. Наприклад, число π - це ірраціональне число, яке досить часто зустрічається у повсякденному житті. Набір ірраціональних чисел не можна перерахувати, як і раціональні числа, і представлений літерою Я.
Приклади:
- √2 → неточні корені - ірраціональні числа;
- -√5 → корені не точні, навіть якщо від’ємні ірраціональні числа;
- 3.123094921… → неперіодичні десяткові числа - ірраціональні числа.
дійсних чисел
Оскільки всі натуральні та цілі числа вважаються раціональними, до цих пір числа можуть бути класифікується на дві великі множини, множину раціональних чисел і множину чисел ірраціональний. Набір дійсних чисел є не що інше, як об'єднання раціональних та ірраціональних чисел.
R = {Q U I}
Поки що всі відомі нам числа називаються дійсними числами.
Операції з дійсними числами
Операції з реальними числами - це операції, відомі для всіх попередніх наборів чисел. Чи вони:
- доповнення
- віднімання
- поділ
- множення
- потенціювання
- радикація
Для виконання будь-якої з цих операцій між дійсними числами немає різниці від операцій з попередніми числами.
Крім того, розглядаючи такі операції, важливо це виділити є властивості у множині дійсних чисел.
Властивості дійсних чисел
Важливо розуміти, що властивості дійсних чисел є наслідки його визначення і корисні для виконання операцій. Чи вони:
- існування нейтрального елемента для додавання та множення
- комутативна власність
- асоціативна властивість
- розподільне майно
- існування оберненого
нейтральний елемент
Будьте дійсне число.
Є номер, який додано до , результат само по собі :
+ 0 =
0 - нейтральний елемент суми..
Існує число, яке при множенні на , результат само по собі .
· 1 =
1 - нейтральний елемент множення.
Комутативна властивість
Будьте і B два дійсних числа.
При додаванні чи множенні порядок чисел не змінить результат.
+ B = B +
a · b = b · a
асоціативна властивість
Будьте , B і ç дійсних чисел.
І при додаванні, і при множенні два оперовані числа байдужі до будь-якого порядку.
( + B) + ç = + (B + ç)
(a · b) · Ç = · (б · с)
розподільне майно
Будьте , B і ç дійсних чисел.
Розподільна властивість показує, що добуток суми дорівнює сумі добутків.
ç (a + b) = ca + cb
Існування оберненого
Будьте ненульове дійсне число.
для кожного дійсного числа відрізняється від нуля, існує таке число, що входить товар і це число дорівнює 1.
представництво на прямій
Ми можемо представити безліч дійсних чисел у рядку, оскільки існує чітко визначений для нього принцип порядку. Це подання на прямій називається реальною лінією або повторноце числово і це досить часто, навіть при вивченні декартової площини.
Також доступ: Що таке дріб?
розв’язані вправи
Питання 1 - Будь ласка, судіть наступні твердження:
I - Періодичні десяткові числа є дійсними числами.
II - Кожне дійсне число є раціональним або ірраціональним.
III - Не кожне ціле число є природним.
Аналізуючи твердження, ми можемо сказати, що:
А) лише я помилковий.
Б) помилковим є лише ІІ.
В) помилковим є лише III.
Г) все правда.
Д) всі помилкові.
Дозвіл
Альтернатива D.
I - Правда, оскільки десятина є ірраціональними числами, отже, вони є дійсними числами.
II - Правда, оскільки множина дійсних чисел є об’єднанням дійсних та ірраціональних чисел.
III - Правда, оскільки від’ємні числа, такі як -2 та -5, є цілими числами, але не природними.
Питання 2 - Перевірте такі властивості:
Я - комутативна власність
II - розподільче майно
III - асоціативна властивість
Проаналізуйте наступні операції та позначте їх кількістю відповідних властивостей:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Яка з альтернатив відповідає правильному порядку властивостей:
А) II - I - III - I
Б) I - III - III - II
В) III - II - III - III
Г) II - I - III - II
Д) ІІ - ІІІ - ІІ - І
Дозвіл
Альтернатива А.
1 - (II) У цьому випадку сталося розподільче властивість, оскільки зауважте, що 3 множили на кожен з факторів операції.
2 - (I) У цьому випадку порядок множників не змінює добуток, комутативність множення.
3 - (III) Ми маємо асоціативну властивість, оскільки порядок додавання цих елементів не змінює суми.
4 - (I) Тут ми знову маємо комутативність, оскільки порядок посилок не змінює суми.
