О найменш загальне кратне, що позначається MMC, з двох або більше цілих додатних чисел - це найменше ненульове число, яке відображається у списку кратні з цих двох або більше чисел одночасно.
Існує метод, що полегшує обчислення найменшого загального кратного числа, і для його використання необхідно пам’ятати простий коефіцієнт розкладання, формально відомий як Фундаментальна теорема арифметики. Така теорема запевняє нас, що кожне складене число можна записати як добуток простих множників.
Читайте також: Чи знаєте ви властивості множення?
загальне кратне
Коли у нас є два або більше цілих додатних чисел, можна перерахувати кратні ці числа. Коли ми проводимо цей перелік, ми помітимо, що існує більше одного спільного, тобто кратні, що з’являються одночасно у всіх списках цих заданих чисел. Див. Приклад.
Приклад - Перелік 10 перших кратних чисел 2, 8, 10.
М (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}
М (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}
М (10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...}
Ми можемо побачити більше одного загального кратного числа. Зверніть увагу, що між M (2) і M (8) ми маємо спільні числа 8, 16, 24...; між М (2) і М (10) маємо числа 10, 20, 30,...; між M (8) і M (10), маємо числа 40, 80,... Ці числа називаються загальні кратні.
Як визначити MMC?
Щоб визначити MMC, спочатку ми повинні перерахувати кілька кратних числа. Перше кратне, що з’являється в списку двох чи більше розглянутих чисел, називається найменш загальним кратним. Його називають мінімальним, оскільки він найменший з них і завжди буде відповідати першому числу, спільному для двох або більше чисел.
Приклад - Щоб визначити найменший спільний кратний між числами 4 і 8, перелічимо кратні два числа.
М (4) = {4, 8, 12,16, 20, ...} та М (8) = {8, 16, 24,32,40, ...}
Тепер зверніть увагу, що найменшим кратним, що з’являється в обох списках, є число 8. Отже, MMC (8.4) = 8
усвідомити це цей метод не є практичнимколи цифри занадто великі. Уявіть, наприклад, як за допомогою цього методу визначають MMC між числами 2 і 121. Нам довелося б перерахувати кратні 2, поки не наблизимося до 121.
З огляду на це, ми можемо використовувати простий коефіцієнт розкладання, тобто ми повинні проводити послідовні поділи до прості числа. Дивіться наступний приклад.
Для обчислення MMC (121,2) спочатку ми розкладемо число на прості множники, а потім помножимо ці множники. Результатом множення буде MMC.
Таким чином, MMC (121,2) = 2 · 11 · 11 = 242.
Приклад - Визначте MMC (8.4), використовуючи розкладання простих коефіцієнтів.
Отже, MMC (8.4) = 2 · 2 · 2 = 8, як показано першим способом.
Властивості MMC
Дивіться властивості MMC нижче.
Властивість 1
Добуток найбільшого спільного дільника з найменшим загальним кратним двох чисел і B дорівнює модулю добутку цих чисел.
MDC (a, b) · MMC (a, b) = | a · b |
Приклад - Ми знаємо, що MDC (8.4) = 4 і MMC (8.4) = 8. Насправді,
MDC (8.4) · MMC (8.4) = | 8 · 4 |.
Властивість 2
Загальними кратними двох чи більше чисел є кратні MMC цих чисел.
Приклад - Ми побачили, що M (4) = {4, 8, 12,16, 20, ...} та М (8) = {8, 16, 24,32,40, ...} і що MMC (8,4) = 8. Властивість говорить нам, що кратні 8 і 4 є кратними 8, що, випадково, у цьому випадку є найменшим загальним кратним.
Властивість 3
MMC між двома простими числами один одного дорівнює множенню між ними.
ПРИМІТКА: Два числа є простими один одному, коли вони не мають спільного дільника.
Приклад - Знайдіть найменше спільне кратне між 5 і 21.
Оскільки числа не мають спільного дільника, тобто вони є двоюрідні брати один до одного, найменшим кратним між ними є добуток між ними, отже MMC (21,5) = 21 · 5 = 105. Насправді це правда, як ми бачимо з розкладу на прості фактори.
MMC (21,5) = 3,5 · 7 = 105
Читайте теж: Найвищий загальний дільник: що це і для чого він потрібен?
MMC та фракції
О найменш загальне кратне також використовується для виконання операцій додавання і віднімання дробів. Для додати або відняти два або більше дроби, просто спочатку обчисліть MMC між знаменниками, потім розділіть цю MMC на знаменник і помножте результат на чисельник. Див. Приклади.
Приклад - Визначте суму наступного дробу 4 + 5.
7 3
Спочатку визначимо MMC (7,3). Для цього ми можемо використовувати властивість 3, отже, MMC (7.3) = 21.
Таким чином, 4 + 5 = 56 :7 = 8.
7 3 21:7 3
Така сама процедура справедлива і тоді, коли у нас віднімання дробів, просто звертайте увагу лише на знак між дробами.
Читайте також: Операції з дробами: навчіться це робити
Вправа вирішена
Питання 1 - (UPE) Родріго спостерігав за мерехтінням на різдвяному орнаменті свого будинку. Складається з цибулин жовтого, синього, зеленого та червоного кольорів. Родріго помітив, що жовті лампочки горять кожні 45 секунд, зелені лампочки кожні 60 секунд, синій, кожні 27 секунд, а червоний загоряється лише тоді, коли лампи інших кольорів світяться одночасно час. Скільки хвилин загоряються червоні лампи?
The) 6
Б) 9
ç) 12
г) 15
і) 18
Рішення
Оскільки лампи загоряються лише тоді, коли всі горить В той же час, тобто ми повинні знайти загальний час спрацювання ламп. Отже, просто обчисліть MMC між 60, 45 і 27.
Отже, MMC (60, 45, 27) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 540 секунд. Оскільки вправу цікавить часовий інтервал у хвилинах, просто розділіть 540 на 60.
540: 60 = 9 хвилин.
Альтернатива b.
