THE Еліпс - це плоска фігура, класифікована як конічна, тому що вона можна отримати з розділу плану у конусі. Знайти плоску фігуру з формою еліпса досить часто у повсякденному житті. Його широко вивчали для пояснення руху планет навколо Сонця, оскільки орбіти цих зірок є еліпсами.
THE аналітична геометрія - область математики, яка прагне описати алгебраїчно геометричні фігури, включаючи, еліпс вивчається поглиблено в аналітичній геометрії, можливо описати його за допомогою рівняння, що враховує його елементи. Основними елементами еліпса є:
велика вісь
мала вісь
фокусна відстань
вогнища F1 та F2
Визначимо еліпс як набір точок, де сума відстані цих точок до фокусу F1 і зосередити увагу F2 це завжди постійно.
Читайте також: У чому різниця між плоскими і просторовими фігурами?
Що таке еліпс?
Ми знаємо як еліпс плоска фігура, утворена перерізом між площиною і конус, наступним чином:
Для побудови еліпсу - це потрібно знати свій два фокуси, Ф1 та F2, а також довжина головної осі, яка є лінією, що з'єднує кінці еліпса, на зображенні нижче, представленому A1 THE2.
Довжина головної осі дорівнює 2а, тому еліпс - це крива, утворена всіма точками Рнемає де сума відстані від точки до першого фокусу (dPнемаєF1) з відстанню від точки до другого фокусу (dPнемаєF2) завжди постійна і дорівнює 2а.
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = дА1THE2 = 2-й
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Еліпс елементи
Щоб повністю зрозуміти утворення еліпса, необхідно знати кожен з його елементів. Вони являють собою фокуси, центр, головну вісь і малу вісь. На їх основі можна простежити важливі взаємозв'язки в еліпсі.
Центр еліпса представлений точкою О.
Вже точки F1 та F2 представляють фокуси еліпса.
точки А1 та2 є кінцями горизонтальної осі еліпса і точками B1 та Б2 - кінці його вертикальної осі.
Відстань між В1 та Б2 дорівнює 2b (довжина еліпса на малій осі).
Відстань між A1 та2 дорівнює 2а (довжина еліпса на великій осі).
Фокусна відстань між F1 та F2 дорівнює 2c.
Спостереження: Важливо усвідомлювати, що F1B1 має довжину, рівну половині горизонтальної осі, тобто dF1B1 = a. Таким чином, можна також сприйняти важливе співвідношення Піфагора при аналізі трикутника А1OB1. Зверніть увагу, що він є прямокутний трикутник. Тому ми можемо застосувати Теорема Піфагора.
a² = b² + c²
Існує ще одна можливість для еліпса, коли найдовшою віссю є вертикальна вісь. При цьому елементи залишаються незмінними.
У цьому випадку ми можемо застосувати також теорему Піфагора, отримавши наступне:
b² = a² + c²
Читайте також: Які елементи багатокутника?
Рівняння еліпса
Дослідження еліпса проводиться аналітично в Декартовий літак. Аналітична геометрія прагне описати за допомогою рівнянь фігури геометрія площини. Таким чином, можна описати фігуру за допомогою так званого рівняння еліпса.
Спочатку ми зробимо приклади еліпса, фокуси якого містяться або на осі x, або на осі y, тобто початок еліпса збігається з початком декартової площини.
У цьому випадку є дві можливості, коли головною віссю є вертикальна вісь, а коли основною віссю є горизонтальна вісь:
Спостереження: Фокуси завжди містяться на найдовшій осі, тому, якщо a> b, фокуси містяться на горизонтальній осі, а якщо b> a, вони містяться на вертикальній осі.
Центр еліпса не завжди знаходиться у початку декартової площини, що не перешкоджає розробці та адаптації рівняння еліпса для цього випадку. Коли еліпс зміщений від початку координат O (x0, р0), його рівняння можна описати:
Читайте також: Яке приведене рівняння окружності?
Еліпсовий ексцентриситет
Ми знаємо як ексцентричністьпричина між довжиною с і половиною довжини найдовшої осі еліпса. Якщо припустити, що найдовша вісь горизонтальна, ексцентриситет обчислюється за формулою:
Якщо еліпс знаходиться на вертикальній осі, ексцентриситет буде обчислюватися за формулою:
THE ексцентриситет говорить нам, наскільки плоский еліпс, чим більше значення ексцентриситету, тим ближче до кола буде еліпс. Оскільки головна вісь завжди має довжину, більшу за фокусну відстань, отже, і c Оскільки еліпс має округлу форму, для обчислення його площі ми використовуємо константу π і також міра половини горизонтальної довжини і половини вертикальної довжини, так, Ми мусимо: A = abπ A: довжина еліпса Приклад: Обчисліть площу еліпса з фокусами на горизонтальній осі, найдовша вісь якої вимірює 50 см, а найменша - 36 см. Оскільки головна вісь горизонтальна, то вогнища містяться в ній. Тому ми маємо: 2-й = 50 a = 50/2 a = 25 А по вертикальній осі ми повинні: 2b = 36 b = 36/2 b = 18 Отже, площа еліпса задається за формулою: A = abπ A = 25 · 18π A = 450π см2 Питання 1 - При аналізі еліпса нижче альтернативою, яка містить його фокусну відстань, є: А) 5 Дозвіл Альтернатива Е. Фокусна відстань дорівнює 2c, і, крім того, a = 8 і b = 6. Оскільки фокуси містяться на осі х, тоді ми повинні: Оскільки фокусна відстань дорівнює 2c, то 2c = 8√3. Питання 2 - (IFB) Розглядаючи еліпс з центром у початку координат, фокуси на одній з осей координат і проходячи через точки (5, 0) та (0, 13), визначають фокуси еліпса. а) (13, 0) та (-13, 0) Дозвіл Альтернатива D Зверніть увагу, що він проходить через точку (0, 13), що вказує, що b = 13, а також що він проходить через точку (5.0) a = 5. Як b> a, ми маємо: b² = a² + c² Оскільки b більше, то фокус зосереджений на вертикальній осі, тобто (0, 12) та (0, -12). Рауль Родрігес де Олівейраобласть еліпса
a: половина довжини горизонтальної осі
b: половина довжини вертикальної осі
розв’язані вправи
Б) 4√3
В) 4
Г) 16
Д) 8√3
б) (0, 13) та (0, -13)
в) (12, 0) та (-12, 0)
г) (0, 12) та (0, -12)
д) (5, 0) та (-5, 0)
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 - 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12
Вчитель математики
