На відміну від утворених ним геометричних фігур, Оцінка не має визначення. Це означає, що в геометрії точка є невизначеним об'єктом, що використовується для визначення інших об'єктів. Наприклад, рядки - це набори точок. Хоча вони виглядають добре визначеними, лінії також не мають визначення, оскільки будь-який набір, що містить дві або більше точок, вважається прямим.
З іншого боку, в аналітичній геометрії точка приймається як місце. Будь-яке місце може бути представлене точкою, і, крім того, “адреса” цієї точки задається за допомогою координат.
Однак в аналітичній геометрії точки можуть вказувати лише місця. Інші об'єкти потрібні для позначення траєкторії, напрямку, напрямку та інтенсивності. У разі цих останніх трьох об'єктом, обраним для їх представлення в декартовій площині, є вектор.
→ Що таке вектор?
Вектори, отже, є об'єктами, що вказують напрямок, сенс та інтенсивність. Зазвичай вони представлені стрілками, які починаються з початку координат, і використовуються координати останньої точки.
На зображенні вище вектори представлені таким чином, тобто стрілки, координати яких відповідають кінцевій точці. Вектор u має координати (2,2), а вектор v має координати (4,2). Також стрілка використовується для позначення напрямку та напрямку, а її розмір вказує на інтенсивність.
→ Множення вектора на число
Враховуючи вектор v = (a, b), добуток дійсного числа k на v задається виразом:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Іншими словами, щоб помножити дійсне число на вектор, потрібно помножити дійсне число на кожну з його координат.
Геометрично, помноживши вектор на дійсне число, збільшує розмір вектора лінійно:
Зверніть увагу, що у наведеному вище прикладі вектор u має координати (2.2), а вектор u · k - координати (4.4). Вирішуючи рівняння (4.4) = k (2.2), можна зробити висновок, що k = 2.
→ Додавання векторів
Враховуючи два вектори u = (a, b) і v = (c, d), сума між ними буде отримана через вираз:
u + v = (a + c, b + d)
Іншими словами, просто складіть відповідні координати кожного вектора. Цю операцію можна розширити до суми 3 або більше векторів із 3 і більше вимірами.
Геометрично, починаючи з кінцевої точки вектора u, вектор v 'проводиться паралельно вектору v. Починаючи з вектора v, вектор u 'проводиться паралельно вектору u. Ці чотири вектори утворюють паралелограм. Вектор u + v є такою діагоналлю цього паралелограма:
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Щоб відняти вектори, розгляньте віднімання як суму одного, а протилежного іншого. Наприклад, щоб відняти вектор v з вектора u, напишіть: u - v = u + (-v). Вектор -v - це вектор v, але зі зміненими знаками координат.
Придивляючись, операції "множення вектора на число" та "додавання векторів" використовувати операції множення та додавання реальних чисел, але кожного компонента вектор. Отже, для векторів діють усі властивості додавання та множення дійсних чисел, а саме:
Враховуючи вектори u, v і w та дійсні числа k і l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) існує вектор 0 = (0.0) такий, що v + 0 = v
iv) Існує вектор -v такий, що v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Стандарт вектора
Нормою вектора є еквівалент величини дійсного числа, тобто відстані між вектором і точкою (0,0) або, залежно від системи відліку, довжини вектора.
Норму вектора v = (a, b) позначають || v || і може бути обчислена за допомогою виразу:
|| v || = √ (а2 + b2)
→ Внутрішній продукт
Внутрішній продукт порівнянний із продуктом між векторами. Зверніть увагу, що згаданий вище добуток є добутком між вектором та дійсним числом. Тепер “продукт”, про який йде мова, знаходиться між двома векторами. Однак слід говорити не «добуток між двома векторами», а скоріше «внутрішній добуток між двома векторами». Внутрішній добуток між векторами v = (a, b) та u = (c, d) позначається
Також прийнято використовувати такі позначення:
Зауважимо, що використовуючи норму вектора v = (a, b), ми можемо зв’язати норму і крапковий добуток.
|| v || = √ (а2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Луїс Пауло Морейра
Закінчив математику
