Коли ми вивчаємо багатогранники, ми натрапляємо на Тверді речовини Платона як приватний випадок. Щоб бути твердим тілом Платона, багатогранник повинен відповідати трьом умовам:
бути опуклим;
всі грані мають однакову кількість країв;
всі вершини є кінцями однакової кількості ребер.
Кілька філософів прагнули зрозуміти походження Всесвіту, і Платон це побачив просторова геометрія пояснення цього походження. Тверді речовини Платона:
тетраедр;
гексаедр;
октаедр;
додекаедр;
ікосаедр.
Усі вони вважаються правильними багатокутниками, як їх краї та їх грані збіжні. Тверді речовини Платона поважають Стосунки Ейлера, де перерахована кількість вершин, граней і ребер за формулою V + F = A + 2.
Читайте також: У чому різниця між плоскими і просторовими фігурами?
правильні багатогранники
Пошук звичайних багатогранників повторюється, оскільки з ними легше працювати. Багатогранник класифікується як звичайний, якщо він має всі грані, утворені однаковими багатокутник конгруентний. Коли це відбувається, кути а краї також конгруентні.
Тверді тіла Платона - це окремі випадки правильних багатогранників. Наприклад, куб, який є твердим тілом Платона, має всі свої грані з конгруентних квадратів. З п’яти твердих тіл Платона, три утворені трикутними гранями з конгруентними трикутниками, одна утворена квадратними гранями, а інша - п’ятикутними гранями.
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
Що таке тверді речовини Платона?
Платон був грецьким філософом і математиком. Він зробив великий внесок у математику і, намагаючись зрозуміти Всесвіт, пов'язані тверді речовини з елементами природи.
Щоб бути платонічним твердим тілом, мусить бути багатогранник правильна і опукла. Існує лише п’ять твердих речовин, які відповідають цьому визначенню. Це: тетраедр, куб або гексаедр, октаедр, ікосаедр та додекаедр.
Взаємозв'язок між стихією природи і твердим тілом склався:
тетраедр - вогонь
гексаедр - Земля
октаедр - повітря
ікосаедр - Вода
додекаедр - Космо або Всесвіт
Щоб бути твердим Платоном, О багатогранник також повинен бути опуклим, всі грані повинні мати однакову кількість ребер, а всі вершини повинні бути кінцями однакової кількості ребер.
Дивіться також: Бруківка - геометричні тверді тіла, утворені плоскими та багатокутними гранями
правильний тетраедр
Правильний тетраедр - це багатогранник, який має 4 обличчя, що виправдовує його назву (тетра = чотири). всі твої обличчя є утворені трикутниками. Він за формою нагадує піраміда трикутної основи і відомий як піраміда регулярної основи, оскільки всі її грані конгруентні. Він має в цілому 4 грані (у форматі рівносторонній трикутник), 4 вершини та 6 ребер.
Якщо ви хочете побудувати свій власний звичайний тетраедр, просто завантажте та роздрукуйте PDF тут.
Звичайний куб або гексаедр
правильний гексаедр має 6 обличчя, що виправдовує його назву (hex = шість). твої обличчя всі площа. Він також відомий як куб і має 6 граней, 12 ребер і 8 вершин.
Якщо ви хочете побудувати власний куб, просто завантажте та роздрукуйте PDF тут.
Октаедр
Як і у попередніх, назва пов’язана з кількістю граней, отже, і октаедром має 8 облич. Ці обличчя мають рівностороння форма трикутника. Октаедр має 8 граней, 12 ребер і 6 вершин.
Якщо ви хочете побудувати власний октаедр, просто завантажте та роздрукуйте PDF тут.
ікосаедр
Всього ікосаедр має 20 облич. Їхні грані мають форму рівносторонніх трикутників, як і октаедр. Він має загалом 20 граней, 30 ребер і 12 вершин.
Якщо ви хочете побудувати власний ікосаедр, просто завантажте та роздрукуйте PDF тут.
Додекаедр
Додекаедр - остання з твердих речовин Платона. Всього має 12 граней і вважається більш гармонічний серед п’яти платонівських твердих тіл. Їх обличчя мають форму п'ятикутників. Він має 12 граней, 30 ребер і 20 вершин.
Якщо ви хочете побудувати свій власний додекаедр, просто завантажте та роздрукуйте PDF тут.
Також доступ: Циліндр - геометричне тверде тіло, утворене двома паралельними круговими гранями і в різних площинах
Формула Ейлера
Ейлерові багатогранники - це опуклі багатогранники. Ейлер розробив формулу, яка пов'язує кількість граней (F), кількість вершин (V) і кількість ребер (A) у опуклому багатограннику. Усі тверді тіла Платона задовольняють співвідношенню Ейлера.
V + F = A + 2 |
Аналізуючи формулу, тоді можна обчислити кількість вершин з числа граней і ребер, або кількість граней з числа вершин і ребер, нарешті, знаючи два її елементи, завжди можна знайти третій.
Приклад:
Знаючи, що багатогранник має 8 вершин і 12 ребер і що він правильний, скільки граней він має?
Ми знаємо, що V + F = A + 2
V = 8
А = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
розв’язані вправи
Питання 1 - (Enem 2016) Тверді тіла Платона - це опуклі багатогранники, грані яких збігаються з одним багатокутником регулярні, всі вершини мають однакову кількість падаючих ребер, і кожне ребро ділиться лише двома. обличчя. Вони важливі, наприклад, при класифікації форм мінеральних кристалів та при розробці різних об’єктів. Як і всі опуклі багатогранники, тверді тіла Платона поважають співвідношення Ейлера V - A + F = 2, де V, A і F - кількість вершин, ребер і граней багатогранника відповідно.
Який зв’язок між числом вершин і кількістю граней має кристал, форма якого має багатогранник Платона з трикутною гранью?
А) 2В - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
В) 2В - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Дозвіл
Альтернатива C. Оскільки грані трикутні, ми знаємо, що для кожної грані є 3 ребра. Однак, щоб зв'язати кількість ребер із кількістю граней, важливо пам'ятати, що кожен ребро міститься на двох гранях, оскільки зустріч двох граней утворює ребро, тому в цьому випадку ми можемо пов’язати край з обличчям за:
Маючи відношення Ейлера як V - A + F = 2 і підставляючи A, ми маємо:
Питання 2 - З альтернатив, наведених нижче, судіть, який з них не є твердим Платоном.
А) Куб
Б) Звичайний тетраедр
В) Ікосаедр
Г) Додекаедр
Д) Конус
Дозвіл:
Альтернатива Е. З альтернативних варіантів єдиним, що не відповідає твердому тілу Платона, є конус.
Рауль Родрігес де Олівейра
Вчитель математики
