О Діаграма Венна, також відома як діаграма Венна-Ейлера, є a спосіб побудови графіку набору, для цього ми використовуємо замкнуту лінію, яка не має самоперетину, і ми представляємо елементи множини всередині цієї лінії. Ідея діаграми полягає в тому, щоб полегшити розуміння в основні набори операцій, такі як: відносини включення та належність, союз та перетин, різниця та доповнюючий набір.
Читайте теж: Операції між цілими числами: знати властивості
Зображення діаграм Венна
Як показано, діаграма Венна складається із замкнутої (непереплітаючої) лінії, на якій ми «розміщуємо» елементи набору, про який йде мова, тому ми можемо представляють один або кілька наборів одночасно. Див. Приклади:
• Одномісний комплект
Ми можемо представляти вас за допомогою одна замкнута лінія, наприклад, представимо множину A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Між двома наборами
Ми повинні скласти два графіки, подібні до одного, для подання єдиного набору. Однак з операцій з множинами ми знаємо, що: враховуючи дві множини, вони можуть перетинатися, а можуть і не перетинатися. Якщо два набори не перетинаються, вони називаються
неперервні набори.Приклад 1
Побудуйте графік, використовуючи діаграму Венна, множини A = {a, b, c, d, e, f} та B = {d, e f, g, h, i}.
Зверніть увагу, що перетин - це частина діаграми, яка належить до двох множин, як і у визначенні.
A ∩ B = {d, e, f}
Приклад 2
Побудуйте графіки множин C = {a, b, c, d} та D = {e, f, g, h}.
Зверніть увагу, що перетин цих наборів порожній, оскільки в ньому немає жодного елемента, що належить одночасно обом, тобто:
C ∩ D = {}
• Між трьома наборами
Ідея подання, що використовує діаграму Венна для трьох множин, подібна до подання між двома множинами. У цьому сенсі множини можуть бути непересічними по одному, тобто вони не мають жодного перетину; або вони можуть бути двома-двома непересеченими, тобто лише два з них перетинаються; або всі перетинаються.
Приклад
Представлення, використовуючи діаграму Венна, множин A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} та C = {d, e, c, h}.
Дивіться також: Важливі набори позначень
Не зупиняйтесь зараз... Після реклами є ще щось;)
членські відносини
Відносини щодо членства дозволяють сказати, належить чи елемент до певного набору чи ні. Для цього ми використовуємо символи:
Розглянемо множину A = {a, b, c, d}. Аналізуючи це, ми усвідомлюємо це g, наприклад, не належить йому, тому на діаграмі Венна маємо:
Взаємозв'язок
Взаємозв'язок дозволяє нам сказати чи міститься набір в іншому наборі. Коли набір міститься в іншому, ми говоримо, що це a підмножина. Для цього ми використовуємо символи:
Прикладом цього є взаємозв'язок між множиною натуральні числа і набір цілі числа. Ми знаємо, що набір натуральних чисел є підмножиною набору цілих чисел, тобто набір натуралів міститься в наборі цілих чисел.
Операції між множинами
Основними операціями між двома або більше наборами є: єдність, перехрестя і різниця між двома наборами.
• Союз
Союз між двома множинами утворюється шляхом об'єднання елементів, що містяться в кожній множині, іншими словами: розглядаються всі елементи двох множин. Подивіться:
Розглянемо множини A = {1, 2, 3, 4} та B = {3, 4, 5, 6, 7}. Союз між ними задається:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
На діаграмі Венна ми затінили частину об'єднання, тобто обидва набори, перевіримо:
• Перетин
Перетин - це нова числова множина, утворена елементами, які одночасно належать до інших множин. Взагалі кажучи, перетин між множинами на діаграмі Венна задається частиною, спільною для задіяних графіків. Подивіться:
Знову розглядаючи множини A = {1, 2, 3, 4} і B = {3, 4, 5, 6, 7}, маємо, що елементи, що належать до множини A і до множини B, одночасно :
A ∩ B = {3,4}
• Різниця між двома наборами
Розглянемо два набори C і D, різниця між ними (C - D) буде новим набором, утвореним елементами, що належать до C, а не належать до D. Загалом, ми можемо представити цю різницю, використовуючи діаграму Венна, наступним чином:
розв’язані вправи
питання 1 - (Ufal) На наступному малюнку були представлені неперервні множини A, B і C. Кольорова область представляє набір:
a) C - (A ∩ B)
б) (A ∩ B) - C
в) (A U B) - C
г) A U B U C
д) A ∩ B ∩ C
Рішення
Альтернатива b.
Пам'ятаючи операції з множинами, ми знаємо, що перетин між двома множинами на діаграмі Венна задається загальною для них частиною. Розглядаючи множини A, B і C та забарвлюючи множину перетину A ∩ B, маємо:
Заголовок: Рішення питання1 - частина 1
Зверніть увагу, що якщо ми вилучаємо елементи з набору C, ми отримуємо кольорову частину, яку вимагає вправа, тобто спочатку ми повинні виділити перетин, а потім видалити елементи з C.
(A ∩ B) - C
питання 2 - (Uerj) Діти в школі брали участь у кампанії щеплень проти дитячого паралічу та кору. Після кампанії було встановлено, що 80% дітей отримали вакцину від паралічу, 90% - проти кору, а 5% - жодної.
Визначте відсоток дітей у цій школі, які отримали обидві вакцини.
Рішення
Оскільки відсоток дітей, які отримали обидві вакцини, невідомий, давайте спочатку назвемо це х. Пам’ятайте, що ми не повинні оперувати символом%, а записувати відсотки вправ у десятковому чи дробовому вигляді.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Щоб з’ясувати загальну кількість дітей, які приймали лише паралічну вакцину, ми відняли перевірений відсоток (80%) відсотка тих, хто приймав обидва (x), і те саме слід робити для дітей, які приймали вакцину лише проти кір. Отже:
Приєднання всіх дітей дорівнює 100%, отже:
0,9 - х + х + 0,8 - х + 0,05 = 1
1,75 - х = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
х = 0,75
х = 75%
Тому 75% дітей у школі мали обидві вакцини.
Л.до Робсон Луїс
Вчитель математики
