Faktoring, matematikte kullanılan, bir sayıyı veya bir ifadeyi faktörlerin bir ürünü olarak temsil etmekten oluşan bir süreçtir.
Diğer polinomların çarpımı gibi bir polinom yazarak ifadeyi genellikle basitleştirebiliriz.
Aşağıdaki polinom çarpanlarına ayırma türlerine göz atın:
Kanıttaki Ortak Faktör
Bu tür çarpanlara ayırmayı, polinomun tüm terimlerinde kendini tekrar eden bir çarpan olduğunda kullanırız.
Rakam ve harf içerebilen bu faktör parantezlerin önüne yerleştirilecektir.
Parantezlerin içinde, polinomun her bir teriminin ortak faktöre bölünmesinin sonucu olacaktır.
Uygulamada, aşağıdaki adımları yapalım:
1º) Tüm terimlerde tekrar eden polinom ve harflerin tüm katsayılarını bölen bir sayı olup olmadığını belirleyin.
2º) Ortak çarpanları (sayı ve harfler) parantezlerin önüne koyun (kanıt olarak).
3) Polinomun her faktörünün kanıttaki faktöre bölünmesinin sonucunu parantez içine alın. Harfler söz konusu olduğunda, aynı temelin güçler ayrılığı kuralını kullanırız.
Örnekler
a) 12x + 6y - 9z polinomunun çarpanlara ayrılmış hali nedir?
İlk önce, sayıyı tanımlıyoruz 3 tüm katsayıları böler ve tekrar eden harf yoktur.
Parantezlerin başına 3 sayısını koyuyoruz, tüm terimleri üçe bölüyoruz ve sonucu parantez içine koyacağız:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
b) Faktör 2a2b + 3a3CA4.
2, 3 ve 1'i aynı anda bölen bir sayı olmadığı için parantezlerin önüne herhangi bir sayı koymayacağız.
Mektup tüm terimlerle tekrarlanır. ortak faktör olacak 2, en küçük üssü olan ifadede.
Polinomun her terimini şuna böleriz: 2:
2.2 b:2 = 2.2 - 2 b = 2b
3 üncü3c:2 = 3.3 - 2 c = 3ac
4: bir2 =2
koyduk 2 parantezlerin önünde ve parantez içindeki bölmelerin sonuçları:
2.2b + 3a3CA4 =2 (2b + 3ac - bir2)
gruplama
Tüm terimlerde tekrar eden bir çarpanı olmayan polinomda, gruplama yaparak çarpanlara ayırmayı kullanabiliriz.
Bunun için ortak çarpanlara göre gruplandırılabilecek terimleri belirlememiz gerekir.
Bu tür çarpanlara ayırmada, gruplamaların ortak çarpanlarını kanıtlara koyarız.
Misal
mx + 3nx + my + 3ny polinomunu çarpanlarına ayırın
Şartlar mx ve 3nx ortak bir faktör olarak vardır x. zaten şartlar benim ve 3 yıl ortak bir faktör olarak var y.
Bu faktörleri kanıt olarak sunmak:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
(m + 3n)'nin şimdi her iki terimde de tekrarlandığını unutmayın.
Tekrar kanıt olarak ortaya koyarsak, polinomun çarpanlara ayrılmış şeklini buluruz:
mx + 3nx + benim + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Mükemmel Kare Üçlü
Trinomlar, 3 terimli polinomlardır.
Tam kare üç terimli a2 + 2ab + b2 ve2 - 2ab + b2 (a + b) türünün dikkat çekici ürününün sonucu2 ve (a - b)2.
Böylece, tam kare üç terimlinin çarpanlara ayrılması şöyle olacaktır:
2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (iki terimin toplamının karesi)
2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (iki terim farkının karesi)
Bir üç terimlinin gerçekten tam kare olup olmadığını bulmak için aşağıdakileri yaparız:
1º) Karesi alınan terimlerin karekökünü hesaplayın.
2) Bulunan değerleri 2 ile çarpın.
3) Bulunan değeri karesi olmayan terimle karşılaştırın. Eğer eşitlerse, bu bir tam karedir.
Örnekler
a) x polinomunu çarpanlara ayırın2 + 6x + 9
İlk olarak, polinomun tam kare olup olmadığını test etmeliyiz.
√x2 = x ve √9 = 3
2 ile çarparak buluruz: 2. 3. x = 6x
Bulunan değer karesi olmayan terime eşit olduğundan polinom tam karedir.
Böylece, çarpanlara ayırma şöyle olacaktır:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) x polinomunu çarpanlara ayırın2 - 8xy + 9y2
Bir tam kare üç terimli olup olmadığını test etme:
√x2 = x ve √9y2 = 3y
Çarpma işlemini yapmak: 2. x. 3y = 6xy
Bulunan değer, polinomun (8xy ≠ 6xy) terimiyle eşleşmiyor.
Bir tam kare üç terimli olmadığından, bu tür çarpanlara ayırmayı kullanamayız.
iki kare farkı
a tipi polinomları çarpanlarına ayırmak için2 -B2 dikkat çekici toplam ve fark ürününü kullanıyoruz.
Böylece, bu türdeki polinomların çarpanlara ayrılması şöyle olacaktır:
2 -B2 = (a + b). (a - b)
Çarpanlara ayırmak için iki terimin karekökünü hesaplamamız gerekir.
Daha sonra bulunan değerlerin toplamı ve bu değerler arasındaki farkın çarpımını yazınız.
Misal
9x binomunu çarpanlara ayır2 - 25.
İlk önce, terimlerin karekökünü bulun:
√9x2 = 3x ve √25 = 5
Bu değerleri toplam ve farkın bir ürünü olarak yazın:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
mükemmel küp
polinomlar bir3 + 3.2b+3ab2 + b3 ve3 - 3 üncü2b+3ab2 -B3 (a + b) türünün dikkat çekici ürününün sonucu3 veya (a - b)3.
Böylece, mükemmel küpün çarpanlarına ayrılmış şekli şöyledir:
3 + 3.2b+3ab2 + b3 = (a + b)3
3 - 3 üncü2b+3ab2 -B3 = (a - b)3
Bu tür polinomları dışlamak için, terimlerin küp kökünü hesaplamalıyız.
Daha sonra polinomun mükemmel bir küp olduğunu doğrulamak gerekir.
Eğer öyleyse, bulunan kübik köklerin değerlerinin toplamını veya çıkarılmasını küp yaparız.
Örnekler
a) x polinomunu çarpanlara ayırın3 + 6x2 + 12x + 8
İlk önce, küplü terimlerin kübik kökünü hesaplayalım:
3√ x3 = x ve 3√ 8 = 2
Ardından mükemmel bir küp olup olmadığını onaylayın:
3. x2. 2 = 6x2
3. x. 22 = 12x
Bulunan terimler polinomdaki terimlerle aynı olduğundan, bu bir mükemmel küptür.
Böylece, çarpanlara ayırma şöyle olacaktır:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Polinomu a çarpanlarına ayırın3 - 9.2 + 27 - 27
İlk önce küplü terimlerin kübik kökünü hesaplayalım:
3için3 = bir ve 3√ - 27 = - 3
Ardından mükemmel bir küp olup olmadığını onaylayın:
3.2. (-3) = - 9.2
3.. (- 3)2 = 27.
Bulunan terimler polinomdaki terimlerle aynı olduğundan, bu bir mükemmel küptür.
Böylece, çarpanlara ayırma şöyle olacaktır:
3 - 9.2 + 27a - 27 = (a - 3)3
sen de oku:
- potansiyalizasyon
- polinomlar
- Polinom fonksiyonu
- asal sayılar
Çözülmüş Alıştırmalar
Aşağıdaki polinomları çarpanlarına ayırın:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x – 8c + mx – 2mc
d) 49 -2
e) 9.2 + 12. + 4
a) 11. (3x + 2y - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x – 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - bir)
e) (3. + 2)2
Ayrıca bakınız:
- Cebirsel İfadeler
- Cebirsel İfadeler Üzerine Alıştırmalar
- Önemli ürünler
- Önemli Ürünler - Alıştırmalar
