kavramı ters matris bir sayının tersi kavramına çok yakındır. Bir sayının tersi olduğunu hatırlayalım. Hayır sayı Hayır-1, ikisinin arasındaki çarpım, cismin nötr elemanına eşittir. çarpma işlemi, yani 1 numara. Zaten M matrisinin tersi M matrisidir-1, nerede ürün M · M-1 I birim matrisine eşittirHayır, ki bu matris çarpımının nötr öğesinden başka bir şey değildir.
Matrisin tersi olması için kare olması ve ayrıca determinantının sıfırdan farklı olması gerekir, aksi halde tersi olmaz. Ters matrisi bulmak için matris denklemini kullanırız.
sen de oku: Üçgen matris — kare matrisin özel türü
kimlik matrisi
Ters matrisin ne olduğunu anlamak için önce birim matrisi bilmek gerekir. I kare matrisini bir birim matris olarak biliyoruz.Hayır burada ana köşegenin tüm elemanları 1'e ve diğer terimler 0'a eşittir.
bu kimlik matrisi, matrisler arasındaki çarpmanın nötr öğesidir., yani verilen bir Merkez n dereceli M, matris M ve matris I arasındaki çarpımHayır matris M'ye eşittir.
M · benHayır = M
Ters matris nasıl hesaplanır
M'nin ters matrisini bulmak için bir matris denklemini çözmek gerekir:
M · M-1 = benHayır
Misal
M'nin ters matrisini bulun.
Ters matrisi bilmediğimize göre, bu matrisi cebirsel olarak gösterelim:
Bu matrisler arasındaki ürünün I'e eşit olması gerektiğini biliyoruz.2:
Şimdi matris denklemini çözelim:
Sorunu ikiye ayırmak mümkün sistemleri denklemler. İlki M ·M matrisinin ilk sütununu kullanır-1 ve birim matrisin ilk sütunu. Öyleyse, yapmalıyız:
Sistemi çözmek için,21 denklem II'de ve denklem I'de ikame.
Denklem I'de yerine koyarsak, şunları yapmalıyız:
a'nın değerini nasıl buluruz11, sonra a'nın değerini bulacağız21:
Bir değerin bilinmesi21 ve11, şimdi ikinci sistemi kurarak diğer terimlerin değerini bulacağız:
izole etmek22 III denkleminde şunları yapmalıyız:
3 üncü12 + 1.22 = 0
22 = – 3.12
IV denkleminde yer değiştirme:
5.12 + 2.22 =1
5.12 + 2·( - 3.12) = 1
5.12 – 6.12 = 1
- bir12 = 1 ( – 1)
12 = – 1
Bir değerin bilinmesi12a'nın değerini bulacağız.22 :
22 = – 3.12
22 = – 3 · ( – 1)
22 = 3
Artık M matrisinin tüm terimlerini bildiğimize göre-1, onu temsil etmek mümkündür:
Siz de okuyun: Matrislerde toplama ve çıkarma
Ters Matris Özellikleri
Bir ters matrisin tanımlanmasından kaynaklanan özellikler vardır.
- 1. mülk: M matrisinin tersi-1 matris M'ye eşittir. Bir ters matrisin tersi her zaman matrisin kendisidir, yani, (M-1)-1 = M, çünkü biliyoruz ki M-1 · M = benHayır, bu nedenle M-1 M'nin tersidir ve ayrıca M, M'nin tersidir-1.
- 2. mülk: bir birim matrisin tersinin kendisidir: I-1 = I, çünkü birim matrisin ürünü kendi başına birim matrisi ile sonuçlanır, yani IHayır · BENHayır = benHayır.
- 3. mülk: tersi iki matrisin çarpımısen terslerin çarpımına eşittir:
(M×H)-1 = M-1 · bir-1.
- 4. mülk: bir kare matrisin tersi, ancak ve ancak belirleyici 0'dan farklıdır, yani det(M) ≠ 0.
Alıştırmalar çözüldü
1) Verilen A matrisi ve B matrisi, ters olduklarını bilerek, x+y'nin değeri:
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) -1.
e) -2.
Çözüm:
Alternatif d.
Denklemi oluşturmak:
A · B = ben
Terimleri eşitleyen ikinci sütunda şunları yapmalıyız:
3x + 5y = 0 → (I)
2x + 4y = 1 → (II)
x'i I'de izole etmek:
değiştirme denklem II, yapmalıyız:
y'nin değerini bilerek, x'in değerini bulacağız:
Şimdi x + y'yi hesaplayalım:
soru 2
Bir matrisin yalnızca determinantı 0'dan farklı olduğunda bir tersi vardır. Aşağıdaki matrise bakıldığında matrisi tersini desteklemeyen x değerleri nelerdir?
a) 0 ve 1.
b) 1 ve 2.
c) 2 ve – 1.
d) 3 ve 0.
e) – 3 ve – 2.
çözüm:
Alternatif b.
A'nın determinantını hesaplarken det(A) = 0 olan değerler istiyoruz.
det (A) = x ·(x – 3) – 1 · ( – 2)
det (A) = x² - 3x + 2
det (A) = x² - 3x + 2 = 0
çözme 2. derece denklem, Zorundayız:
- bir = 1
- b = – 3
- c = 2
Δ = b² - 4ac
Δ = (– 3) ² – 4·1·2
Δ= 9 – 8
Δ = 1
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
Kaynak: Brezilya Okulu - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm