Trigonometrik biçimde karmaşık sayıların radyasyonu

Trigonometrik biçimdeki karmaşık sayılarla işlemler, bu kümenin öğelerini içeren hesaplamayı kolaylaştırır. Trigonometrik formdaki komplekslerin çarpma ve bölme işlemleri neredeyse anında yapılırken, cebirsel formda işlem daha fazla hesaplama gerektirir. Trigonometrik formdaki komplekslerin güçlendirilmesi ve radikalleştirilmesi de Moivre formüllerinin kullanımıyla kolaylaştırılmıştır. Bu sayıların köklenmesinin nasıl yapıldığını görelim:
Herhangi bir karmaşık sayı z = a + bi düşünün. z'nin trigonometrik formu:

z'nin n-endeks kökleri ikinci Moivre formülüyle verilir:

Örnek 1. 2i'nin kareköklerini bulun.
Çözüm: Önce karmaşık sayıyı trigonometrik biçimde yazmalıyız.
Tüm karmaşık sayılar z = a + bi biçimindedir. Öyleyse, yapmalıyız:

Şunu da biliyoruz:


Sinüs ve kosinüs değerleri ile şu sonuca varabiliriz:

Böylece, z = 2i'nin trigonometrik formu şöyledir:

Şimdi Moivre formülünü kullanarak z'nin kareköklerini hesaplayalım.

z'nin kareköklerini istediğimiz için iki farklı z kökü elde edeceğiz.0 ve z1.
k = 0 için



k = 1 için şunları elde ederiz:

Veya

Örnek 2. z = 1∙(cosπ + i∙senπ)'nin kübik köklerini alın
Çözüm: Karmaşık sayı zaten trigonometrik biçimde olduğundan, Moivre'nin formülünü kullanın. İfadeden ø = π ve |z| = 1. Böylece,

Üç farklı kökümüz olacak, z0, z1 ve z2.
k = 0 için

k = 1 için

veya z1 = – 1, çünkü cos π = – 1 ve sin π = 0.
k = 2 için

Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)

Marcelo Rigonatto tarafından
İstatistik ve Matematiksel Modelleme Uzmanı
Brezilya Okul Takımı

Karışık sayılar - Matematik - Brezilya Okulu

Bu metne bir okulda veya akademik bir çalışmada atıfta bulunmak ister misiniz? Bak:

RIGONATTO, Marcelo. "Karmaşık sayıların trigonometrik biçimde ışınımı"; Brezilya Okulu. Uygun: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm. 29 Haziran 2021'de erişildi.

Rekabetçi Hatlar: nedir, örnekler ve alıştırmalar

Rekabetçi Hatlar: nedir, örnekler ve alıştırmalar

Aynı düzlemde bulunan iki farklı doğru, tek bir ortak noktaya sahip olduklarında eşzamanlıdır.Eşz...

read more
Bisektör: nedir, bir segmentin bisektörü ve bir üçgen

Bisektör: nedir, bir segmentin bisektörü ve bir üçgen

Bisektör, bir doğru parçasına dik olan ve bu doğru parçasının ortasından geçen düz bir doğrudur.B...

read more
Semiretta nedir?

Semiretta nedir?

Düz çizgiler, geometri etütlerinin bir parçasıdır ve bir başlangıç ​​noktası olan düz çizgilerdir...

read more