Eşzamanlı denklemlerin çalışılmasını içeren önemli bir matematik konusu olan lineer sistemler hakkındaki bilginizi uygulayın. Pek çok pratik uygulama ile farklı değişkenleri içeren problemlerin çözümünde kullanılırlar.
Tüm sorular, yerine koyma, toplama, eleme, ölçekleme ve Cramer kuralı gibi farklı yöntemler kullanacağımız adım adım çözülür.
Soru 1 (ikame yöntemi)
Aşağıdaki lineer denklem sistemini çözen sıralı ikiliyi belirleyiniz.
Cevap:
İlk denklemde x'i izole etmek:
X'i ikinci denklemde yerine koyarsak:
y'nin değerini ilk denklemde yerine koymak.
Yani, sistemi çözen sıralı çift:
Soru 2 (ölçeklendirme yöntemi)
Aşağıdaki doğrusal denklem sisteminin çözümü:
Cevap: x = 5, y = 1, z = 2
Sistem zaten kademeli formda. Üçüncü denklemin iki sıfır katsayısı vardır (y = 0 ve x = 0), ikinci denklemin katsayısı sıfırdır (x = 0) ve üçüncü denklemin sıfır katsayısı yoktur.
Bir kademeli sistemde "aşağıdan yukarıya" çözeriz, yani üçüncü denklemden başlarız.
En üstteki denkleme geçersek, z = 2 yerine koyarız.
Son olarak, x'i elde etmek için ilk denklemde z = 2 ve y = 1'i yerine koyarız.
Çözüm
x = 5, y = 1, z = 2
Soru 3 (Cramer kuralı veya yöntemi)
Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini çözün:
Cevap: x = 4, y = 0.
Cramer kuralını kullanarak.
Aşama 1: D, Dx ve Dy determinantlarını belirleyin.
Katsayıların matrisi:
Belirleyicisi:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Dx'in hesaplanması için, x'in terimler sütununu bağımsız terimler sütunuyla değiştiririz.
dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12
Dy'nin hesaplanması için y'nin terimlerini bağımsız terimlerle değiştiririz.
Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0
Adım 2: x ve y'yi belirleyin.
X'i belirlemek için şunları yaparız:
y'yi belirlemek için şunları yaparız:
soru 4
Bir spor etkinliğinde bir tişört ve şapka satıcısı, 3 tişört ve 2 şapka satarak toplam 220,00 R$ topladı. Ertesi gün 2 gömlek ve 3 şapka satarak 190,00 R$ topladı. Bir tişörtün fiyatı ve bir şapkanın fiyatı ne olur?
a) Tişört: 60,00 BRL | Sınır: 40,00 BRL
b) Tişört: 40,00 BRL | Sınır: 60,00 BRL
c) Tişört: 56,00 BRL | Sınır: 26,00 BRL
d) Tişört: 50,00 BRL | Sınır: 70,00 BRL
e) Tişört: 80,00 BRL | Sınır: 30,00 BRL
Tişörtlerin fiyatını c ve şapkaların fiyatını b olarak etiketleyelim.
İlk gün için elimizde:
3c + 2b = 220
İkinci gün için elimizde:
2c + 3b = 190
Her biri iki bilinmeyenli iki denklem oluşturuyoruz, c ve b. Yani 2x2 lineer denklem sistemimiz var.
Çözünürlük
Cramer Kuralını Kullanmak:
1. adım: katsayı matrisinin determinantı.
2. adım: determinant Dc.
c'nin sütununu bağımsız terimler matrisiyle değiştiriyoruz.
3. adım: determinant Db.
4. adım: c ve b'nin değerini belirleyin.
Cevap:
Tişörtün fiyatı 56,00 R$ ve şapkanın fiyatı 26,00 R$.
soru 5
Bir sinema, yetişkinler için bilet başına 10,00 R$ ve çocuklar için bilet başına 6,00 R$ ücret almaktadır. Bir günde 80 bilet satıldı ve toplam koleksiyon 700,00 R$ oldu. Her türden kaç bilet satıldı?
a) Yetişkinler: 75 | Çocuklar: 25
b) Yetişkinler: 40 | Çocuklar: 40
c) Yetişkinler: 65 | Çocuklar: 25
d) Yetişkinler: 30 | Çocuklar: 50
e) Yetişkinler: 25 | Çocuklar: 75
olarak isimlendireceğiz bu yetişkinler için bilet fiyatı ve w Çocuklar için.
Elimizdeki toplam bilet sayısına göre:
bir + c = 80
Elde ettiğimiz değerle ilgili olarak:
10a + 6c = 700
İki denklemli ve iki bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemi, yani 2x2 sistemi oluşturuyoruz.
Çözünürlük
Yerine koyma yöntemini kullanacağız.
a'yı ilk denklemde izole etmek:
bir = 80 - c
a'yı ikinci denklemde yerine koyarsak:
10.(80 - c) + 6c = 700
800 -10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
c = 25
İkinci denklemde c yerine yazıldığında:
6a + 10c = 700
6a+10. 25 = 700
6y + 250 = 700
6a = 700 - 250
6a = 450
bir = 450/6
bir = 75
soru 6
Bir mağaza tişört, şort ve ayakkabı satıyor. İlk gün 2 T-shirt, 3 şort ve 4 çift ayakkabı toplam 350,00 R$'a satıldı. İkinci gün 3 T-shirt, 2 şort ve 1 çift ayakkabı toplam 200,00 R$'a satıldı. Üçüncü gün 1 T-shirt, 4 şort ve 2 çift ayakkabı toplam 320,00 R$'a satıldı. Bir tişört, şort ve bir çift ayakkabı ne kadara mal olur?
a) Tişört: 56,00 BRL | Bermuda: 24,00 R$ | Ayakkabı: 74,00 BRL
b) Tişört: 40,00 BRL | Bermuda: 50,00 R$ | Ayakkabı: 70,00 BRL
c) Tişört: 16,00 BRL | Bermuda: 58,00 R$ | Ayakkabı: 36,00 BRL
d) Tişört: 80,00 BRL | Bermuda: 50,00 R$ | Ayakkabı: 40,00 BRL
e) Tişört: 12,00 BRL | Bermuda: 26,00 R$ | Ayakkabı: 56,00 BRL
- c gömleklerin fiyatıdır;
- b şortun fiyatıdır;
- s, ayakkabıların fiyatıdır.
ilk gün için:
2c + 3b + 4s = 350
ikinci gün için:
3c + 2b + s = 200
Üçüncü gün için:
c + 4b + 2s = 320
3x3'lük bir doğrusal denklem sistemi oluşturan üç denklemimiz ve üç bilinmeyenimiz var.
Cramer kuralını kullanarak.
katsayı matrisi
Belirleyicisi D = 25'tir.
Yanıtların sütun matrisi şu şekildedir:
Dc'yi hesaplamak için, yanıtların sütun matrisini katsayılar matrisindeki ilk sütunla değiştiririz.
DC = 400
Db'nin hesaplanması için:
DB = 1450
Ds'nin hesaplanması için:
DS = 900
c, b ve s'yi belirlemek için Dc, Db ve Ds belirleyicilerini temel belirleyici D'ye böleriz.
soru 7
Bir restoran üç yemek seçeneği sunar: et, salata ve pizza. İlk gün 40 adet et yemeği, 30 adet salata tabağı ve 10 adet pizza satılarak toplam 700,00 R$ satış gerçekleşti. İkinci gün 20 adet et yemeği, 40 adet salata tabağı ve 30 adet pizza satılarak toplam 600,00 R$ tutarında satış gerçekleşti. Üçüncü gün 10 et yemeği, 20 salata yemeği ve 40 pizza satılarak toplam 500,00 R$ satış gerçekleşti. Her yemeğin maliyeti ne kadar?
a) et: 200,00 BRL | salata: R$ 15.00 | pizza: BRL 10.00
b) et: 150,00 R$ | salata: 10,00 R$ | pizza: BRL 60.00
c) et: 100,00 BRL | salata: R$ 15.00 | pizza: BRL 70.00
d) et: 200,00 BRL | salata: 10,00 R$ | pizza: BRL 15.00
e) et: 140,00 BRL | salata: 20,00 R$ | pizza: BRL 80.00
Kullanarak:
- c et için;
- salata için;
- p pizza için.
İlk günde:
ikinci gün:
Üçüncü günde:
Her yemeğin fiyatı, sistemi çözerek elde edilebilir:
Çözünürlük
Yok etme yöntemini kullanarak.
20c + 40s + 30p = 6000'i 2 ile çarpın.
İlk elde edilen ikinci matris denklemini çıkarın.
Yukarıdaki matriste, bu denklemi ikincisiyle değiştiriyoruz.
Yukarıdaki üçüncü denklemi 4 ile çarpıyoruz.
Üçüncüyü birinci denklemden çıkararak şunu elde ederiz:
Üçüncüsü ile elde edilen denklemi yerine koymak.
İkinci ve üçüncü denklemleri çıkarırsak, şunu elde ederiz:
Üçüncü denklemden p = 80 elde ederiz.
İkinci denklemde p'yi ikame etmek:
50s + 50.80 = 5000
50s + 4000 = 5000
50s = 1000
sn = 1000/50 = 20
İlk denklemde s ve p değerlerinin değiştirilmesi:
40c + 30,20 + 10,80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000 - 600 - 800
40c = 5600
c = 5600 / 40 = 140
Çözüm
p=80, s=20 ve c=140
soru 8
(UEMG) Planda, sistem bir çift çizgiyi temsil eder
a) tesadüf.
b) farklı ve paralel.
c) ( 1, -4/3 ) noktasında eşzamanlı çizgiler
d) ( 5/3, -16/9 ) noktasında eş zamanlı çizgiler
İlk denklemi iki ile çarparak ve iki denklemi toplayarak:
A denkleminde x'i ikame etmek:
soru 9
(PUC-MINAS) Belirli bir laboratuvar A, B ve C eczanelerine 108 sipariş gönderdi. B eczanesine gönderilen sipariş sayısının diğer iki eczaneye gönderilen toplam sipariş sayısının iki katı olduğu bilinmektedir. Ayrıca A eczanesine gönderilen miktarın yarısından fazlası olan üç sipariş C eczanesine sevk edilmiştir.
Bu bilgilere dayanarak, B ve C eczanelerine gönderilen toplam sipariş sayısının
bir) 36
b) 54
c) 86
94
Elimizdeki açıklamaya göre:
A + B + C = 108.
Ayrıca, B miktarının A + C miktarının iki katı olduğu.
B = 2(A + C)
A eczanesine gönderilen miktarın yarısından fazlası olan üç sipariş C eczanesine sevk edildi.
C = A/2 + 3
Denklemlerimiz ve üç bilinmeyenimiz var.
İkame yöntemini kullanma.
Adım 1: üçüncüyü ikinciyle değiştirin.
Adım 2: Elde edilen sonucu ve üçüncü denklemi birinci denklemde yerine koyun.
Adım 3: B ve C'nin değerlerini belirlemek için A'nın değerini değiştirin.
B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72
C için:
Adım 4: B ve C değerlerini toplayın.
72 + 14 = 86
soru 10
(UFRGS 2019) Böylece lineer denklem sistemi mümkün ve belirli, gerekli ve yeterlidir
a) a ∈ R.
b) bir = 2.
c) bir = 1.
d) a ≠ 1.
c) a ≠ 2.
Bir sistemi mümkün ve belirli olarak sınıflandırmanın yollarından biri Cramer'in yöntemidir.
Bunun koşulu determinantların sıfırdan farklı olmasıdır.
Ana matrisin determinantı D'yi sıfıra eşitlemek:
Doğrusal sistemler hakkında daha fazla bilgi edinmek için:
- Doğrusal Sistemler: Nedirler, türleri ve nasıl çözülür?
- Denklem Sistemleri
- Doğrusal Sistemlerin Ölçeklendirilmesi
- Cramer Kuralı
Daha fazla egzersiz için:
- 1. Derece Denklem Sistemleri
ASTH, Rafael. Çözülmüş lineer sistemler üzerinde alıştırmalar.Tüm mesele, [n.d.]. Uygun: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Erişim:
sen de gör
- Lineer sistemler
- Doğrusal Sistemlerin Ölçeklendirilmesi
- Denklem Sistemleri
- Matris çarpımı üzerine 11 alıştırma
- İkinci dereceden denklem
- Eşitsizlik Alıştırmaları
- 27 Temel Matematik alıştırması
- Cramer Kuralı
