Kosinüs Yasası: uygulama, örnekler ve alıştırmalar

bu kosinüs yasası Herhangi bir üçgenin bir kenarının veya bilinmeyen bir açısının ölçüsünü, diğer ölçülerini bilerek hesaplamak için kullanılır.

İfade ve Formüller

Kosinüs teoremi şunu belirtir:

"Herhangi bir üçgende, bir taraftaki kare, diğer iki taraftaki karelerin toplamı, eksi bu iki tarafın çarpımının aralarındaki açının kosinüsünün iki katıdır.."

Böylece, kosinüs yasasına göre, bir üçgenin kenarları ve açıları arasında aşağıdaki ilişkilere sahibiz:

Örnekler

1. Bir üçgenin iki kenarı 20 cm ve 12 cm olup aralarında 120°'lik bir açı oluşturur. Üçüncü tarafın ölçümünü hesaplayın.

Çözüm

Üçüncü kenarın ölçüsünü hesaplamak için kosinüs yasasını kullanacağız. Bunun için şunları düşünelim:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (trigonometrik tablolarda bulunan değer).

Bu değerleri formülde değiştirmek:

² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
² = 400 + 144 + 240
² = 784
a = √784
bir = 28 cm

Yani üçüncü taraf ölçüleri 28 cm.

2. Aşağıdaki şekilde AC kenarının ölçüsünü ve A'daki köşe ile açının ölçüsünü belirleyin:

Önce AC = b'yi belirleyelim:

B² = 8² + 10² – 2. 8. 10. çünkü 50.
B² = 164 – 160. çünkü 50.
B² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7.82

Şimdi açı ölçüsünü kosinüs yasasına göre belirleyelim:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. çünkü
64 = 161.1524 – 156.4 çünkü Â
çünkü Â = 0.62
 = 52º

Not: Kosinüs açılarının değerlerini bulmak için kullandığımız Trigonometrik Tablo. İçinde, her trigonometrik fonksiyon (sinüs, kosinüs ve tanjant) için 1º ile 90º arasındaki açı değerlerine sahibiz.

Uygulama

Kosinüs yasası herhangi bir üçgene uygulanabilir. Dar açılı (iç açılar 90°'den küçük), geniş açılı (iç açı 90°'den büyük) veya dikdörtgen (iç açı 90°'ye eşit) olsun.

Üçgenlerin iç açılarına göre gösterimi

Peki ya Dikdörtgen Üçgenler?

Aşağıda gösterildiği gibi, kosinüs yasasını 90° açının karşısındaki kenara uygulayalım:

² = b² + c² - 2. B. ç. çünkü 90º

cos 90º = 0 olarak yukarıdaki ifade şu hale gelir:

² = b² + c²

Hangisinin ifadesi ile aynıdır Pisagor teoremi. Böylece, bu teoremin kosinüs yasasının özel bir durumu olduğunu söyleyebiliriz.

Kosinüs yasası, iki kenarı ve aralarındaki açıyı bildiğimiz ve üçüncü kenarı bulmak istediğimiz problemler için uygundur.

Üçgenin üç tarafını bildiğimizde ve açılarından birini bilmek istediğimizde onu yine de kullanabiliriz.

İki açıyı ve sadece bir kenarı bildiğimiz ve başka bir kenar belirlemek istediğimiz durumlar için kullanmak daha uygundur. günahlar kanunu.

Kosinüs ve Sinüs Tanımı

Bir açının kosinüsü ve sinüsü şu şekilde tanımlanır: trigonometrik oranlar bir dik üçgende. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, dik açının (90º) karşısındaki kenara hipotenüs ve diğer iki kenara bacaklar denir:

Sağ üçgenin ve yanlarının temsili: kalçalar ve hipotenüs

Kosinüs daha sonra bitişik tarafın ölçümü ile hipotenüs arasındaki oran olarak tanımlanır:

Sinüs ise karşı bacağın ölçümü ile hipotenüs arasındaki orandır.

Giriş Sınavı Alıştırmaları

1. (UFSCar) Bir üçgenin kenarları x, x + 1 ve x +2 ölçüyorsa, herhangi biri için x gerçek ve 1'den büyük, bu üçgenin en büyük iç açısının kosinüsü şuna eşittir:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x – 2/3x
e) x – 3/2x

Yanıtı Gör

Alternatif e) x – 3 / 2x

2. (UFRS) Aşağıdaki şekilde gösterilen üçgende AB ve AC aynı ölçüye sahiptir ve BC kenarına göre yükseklik BC ölçüsünün 2/3'üne eşittir.

Bu verilere dayanarak, CÂB açısının kosinüsü:

a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Yanıtı Gör

Alternatif a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Bir üçgenin iki kenarı 8 m ve 10 m ölçülerinde ve 60° açı oluşturur. Bu üçgenin üçüncü kenarı şunları ölçer:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

Yanıtı Gör

Alternatif a) 2√21 m

Konu hakkında devamını oku:

• Trigonometri
• Dikdörtgen Üçgende Trigonometri
• Sağ Üçgende Trigonometri Egzersizleri
• trigonometrik ilişkiler
• trigonometrik daire
• Trigonometrik fonksiyonlar