Trigonometri, diğer trigonometrik fonksiyonlara ek olarak sinüs, kosinüs ve tanjant aracılığıyla bir dik üçgende kenarları ve açıları bilmeyi mümkün kılan Matematikte önemli bir temadır.
Çalışmalarınızı geliştirmek ve bilginizi genişletmek için, tümü adım adım çözülmüş 8 alıştırma ve 4 giriş sınavı sorusu listesini izleyin.
1. Egzersiz
Sabahları yerdeki bir binanın gölgesini gözlemleyen bir kişi, güneş ışınları yüzeyle 30° açı yaptığında 63 metre olduğunu buldu. Bu bilgilere dayanarak, binanın yüksekliğini hesaplayın.
Doğru cevap: Yaklaşık 36.37 m.
Bina, gölge ve güneş ışını bir dik üçgen belirler. 30° açıyı ve teğeti kullanarak binanın yüksekliğini belirleyebiliriz.
Binanın yüksekliği h olduğundan, elimizde:
Egzersiz 2
Çapı 3 olan bir çevre üzerinde, kiriş adı verilen bir AC parçası, aynı uzunluktaki başka bir kiriş CB ile 90°'lik bir açı oluşturur. Dizelerin ölçüsü nedir?
Doğru cevap: Halatın uzunluğu 2.12 cm'dir.
AC ve CB doğru parçaları 90°'lik bir açı oluşturduğundan ve uzunlukları aynı olduğundan oluşan üçgen ikizkenardır ve taban açıları eşittir.
Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°'ye eşit olduğundan ve zaten 90°'lik bir açımız olduğundan, iki taban açısı arasında eşit olarak bölünecek bir 90° daha vardır. Böylece, bunların değeri her biri 45º'ye eşittir.
Çap 3 cm'ye eşit olduğundan yarıçap 1,5 cm'dir ve ipin uzunluğunu belirlemek için 45° kosinüsünü kullanabiliriz.
Egzersiz 3
Bir şampiyonaya katılan bir bisikletçi, bir yokuşun tepesinde bitiş çizgisine yaklaşıyor. Testin bu son bölümünün toplam uzunluğu 60 m ve rampa ile yatay arasında oluşan açı 30°'dir. Bunu bilerek, bisikletçinin tırmanması gereken dikey yüksekliği hesaplayın.
Doğru cevap: Yükseklik 30 m olacaktır.
Yüksekliği h olarak adlandırdığımızda:
Egzersiz 4
Aşağıdaki şekil, h yüksekliğinin iki dik açıyı belirlediği üç üçgenden oluşmaktadır. Eleman değerleri şunlardır:
α = 30°
β = 60°
h = 21
a+b'nin değerini bulun.
Doğru cevap:
Verilen açıların tanjantlarını kullanarak a ve b doğru parçalarının ölçülerini belirleyebiliriz.
a'nın hesaplanması:
b'nin hesaplanması:
Böylece,
Egzersiz 5
Bir uçak A şehrinden havalandı ve B şehrine inene kadar düz bir çizgide 50 km uçtu. Ardından 40 km daha uçtu ve bu sefer D şehrine doğru yola çıktı. Bu iki rota birbirine 90° açıdadır. Ancak, olumsuz hava koşulları nedeniyle, pilot kontrol kulesinden D şehrine inemeyeceğini ve A şehrine dönmesi gerektiğini bildiren bir iletişim aldı.
C noktasından U dönüşü yapabilmek için pilotun kaç derece sağa dönmesi gerekir?
Düşünmek:
günah 51° = 0.77
çünkü 51° = 0.63
tan 51° = 1.25
Doğru cevap: Pilot sağa 129° dönüş yapmalıdır.
Şekli incelediğimizde yolun bir dik üçgen oluşturduğunu görüyoruz.
Aradığımız açıya W diyelim. W ve Z açıları tamamlayıcıdır, yani 180°'lik sığ bir açı oluştururlar.
Böylece, W + Z = 180°.
W = 180 - Z (denklem 1)
Şimdi görevimiz Z açısını belirlemek ve bunun için onun tanjantını kullanacağız.
Kendimize sormalıyız: Tanjantı 1.25 olan açı nedir?
Problem bize bu veriyi veriyor, tan 51° = 1.25.
Bu değer ayrıca trigonometrik bir tabloda veya bilimsel bir hesap makinesinde şu işlev kullanılarak bulunabilir:
Denklem 1'de Z'nin değerini değiştirerek, elimizde:
G = 180° - 51° = 129°
Egzersiz 6
Bir ortamdan diğerine geçerken tek renkli bir ışık ışını, ona doğru bir sapmaya maruz kalır. Yayılımındaki bu değişiklik, aşağıdaki ilişkide gösterildiği gibi, ortamın kırılma indeksleri ile ilgilidir:
Snell Yasası - Descartes
Burada i ve r, gelme ve kırılma açıları ve n1 ve n2, ortalama 1 ve 2'nin kırılma indisleridir.
Hava ve cam arasındaki ayırma yüzeyine çarptığında, şekilde gösterildiği gibi bir ışık ışını yönünü değiştirir. Camın kırılma indisi nedir?
Veri: Hava kırılma indeksi 1'e eşittir.
Doğru cevap: Camın kırılma indisi eşittir .
Sahip olduğumuz değerleri değiştirerek:
Egzersiz 7
Bir çilingir, ahşap bir kütüğü atölyesine sürüklemek için kütüğe bir ip bağladı ve yatay bir yüzey boyunca üç metre çekti. İp boyunca 40 N'lik bir kuvvet, hareket yönü ile 45°'lik bir açı yaptı. Uygulanan kuvvetin işini hesaplayın.
Doğru cevap: Yapılan iş yaklaşık 84.85 J.
İş, kuvvet ve yer değiştirmenin çarpımı ile elde edilen skaler bir niceliktir. Kuvvet, yer değiştirme ile aynı yöne sahip değilse, bu kuvveti ayrıştırmalı ve sadece bu yöndeki bileşeni dikkate almalıyız.
Bu durumda, kuvvetin büyüklüğünü açının kosinüsü ile çarpmamız gerekir.
Böylece sahibiz:
Egzersiz 8
İki dağ arasında iki köyün sakinleri bir aşağı bir yukarı zorlu bir yol kat etmek zorunda kaldılar. Durumu çözmek için A ve B köyleri arasında kablolu bir köprü yapılmasına karar verildi.
Köprünün gerileceği düz çizgi ile iki köy arasındaki mesafeyi hesaplamak gerekecekti. Sakinler şehirlerin yüksekliğini ve tırmanış açılarını zaten bildiğinden bu mesafe hesaplanabiliyordu.
Aşağıdaki diyagrama göre ve şehirlerin yüksekliğinin 100 m olduğunu bilerek köprünün uzunluğunu hesaplayınız.
Doğru cevap: Köprünün uzunluğu yaklaşık 157,73 m olmalıdır.
Köprü uzunluğu, verilen açılara bitişik kenarların toplamıdır. Yüksekliği h olarak adlandırdığımızda:
45° açı ile hesaplama
60° açı ile hesaplama
Köprü uzunluğunu belirlemek için elde edilen değerleri toplarız.
soru 1
Cefet - SP
Aşağıdaki ABC üçgeninde CF = 20 cm ve BC = 60 cm. Sırasıyla AF ve BE segmentlerinin ölçümlerini işaretleyin.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Cevap: b) 10, 20
AF'yi belirlemek için
AC = AF + CF olduğunu not ediyoruz, bu yüzden şunları yapmalıyız:
AF = AC - CF (denklem 1)
CF, problem tarafından 20 cm'ye eşit olarak verilir.
AC, 30° sinüs kullanılarak belirlenebilir.
BC, 60 cm'ye eşit olan problem tarafından sağlanır.
Denklem 1'de yerine koyarsak, elimizde:
BE belirlemek için
İlk gözlem:
Şekilde belirlenen dik açılardan dolayı üçgenin içindeki şeklin bir dikdörtgen olduğunu doğrularız.
Bu nedenle kenarları paraleldir.
İkinci gözlem:
BE segmenti, 30°'lik bir açıya sahip dik açılı bir üçgen oluşturur; burada: yükseklik, az önce belirlediğimiz AF'ye eşittir ve BE, hipotenüstür.
Hesaplamanın yapılması:
BE'yi belirlemek için 30° sinüs kullanıyoruz
soru 2
EPCAR-MG
Bir uçak yataya 15° sabit eğimle B noktasından kalkıyor. B'den 2 km, şekilde gösterildiği gibi, 600 m yüksekliğindeki bir dağ silsilesinin en yüksek D noktasının C dikey izdüşümüdür.
Veri: çünkü 15° = 0.97; günah 15° = 0.26; tg 15° = 0.27
Şunu söylemek doğrudur:
a) Uçak, 540 m yüksekliğe ulaşmadan testere ile çarpışmayacaktır.
b) Uçak ile testere arasında 540 m yükseklikte bir çarpışma olacaktır.
c) Uçak, D'deki testere ile çarpışacaktır.
d) Uçak B'den 220 m önce aynı eğimi koruyarak havalanırsa, uçağın testere ile çarpışması olmayacaktır.
Cevap: b) Uçak ile testere arasında 540 m yükseklikte bir çarpışma olacaktır.
İlk olarak, uzunluk ölçü biriminin aynı katını kullanmak gerekir. Dolayısıyla 2 km'den 2000 m'ye gideceğiz.
Aynı başlangıç uçuş koşullarını takip ederek, C noktasının düşey izdüşümünde uçağın hangi yükseklikte olacağını tahmin edebiliriz.
15° tanjantı kullanarak ve yüksekliği h olarak tanımlayarak şunları elde ederiz:
Soru 3
ENEM 2018
Düz dairesel bir silindiri süslemek için, üzerine alt kenarı 30° olan bir diyagonalin koyu olarak çizildiği dikdörtgen bir şeffaf kağıt şeridi kullanılacaktır. Silindirin tabanının yarıçapı 6/π cm ölçülerindedir ve şerit sarılırken şekilde görüldüğü gibi sarmal şeklinde bir çizgi elde edilir.
Silindirin yükseklik ölçümünün santimetre cinsinden değeri:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Cevap: b) 24√3
Şekile baktığımızda silindirin etrafında 6 tur döndüğünü görüyoruz. Düz bir silindir olduğundan, yüksekliğinin herhangi bir yerinde taban olarak bir dairemiz olacak.
Üçgenin tabanının ölçüsünü hesaplamak için.
Bir dairenin uzunluğu aşağıdaki formülden elde edilebilir:
r yarıçapı e olduğunda, eşittir ,sahibiz:
6 tur nasıl:
Yüksekliği hesaplamak için 30° bronzluğu kullanabiliriz.
4. soru
ENEM 2017
Güneş ışınları, şekilde gösterildiği gibi, bir gölün yüzeyine yüzeyi ile X açısında ulaşmaktadır.
Belirli koşullar altında, bu ışınların göl yüzeyindeki ışık yoğunluğunun yaklaşık olarak I(x) = k ile verildiği varsayılabilir. sin (x), k bir sabittir ve X'in 0° ile 90° arasında olduğu varsayılır.
x = 30º olduğunda, ışık şiddeti maksimum değerinin yüzde kaçına düşürülür?
A) %33
B) %50
C) %57
D) %70
E) %86
Cevap: B) %50
Fonksiyondaki 30° sinüs değerini değiştirerek şunu elde ederiz:
k değerini yarıya indirdikten sonra yoğunluk %50 olur.
Daha fazla alıştırma yapın:
Trigonometri Egzersizleri
Bilginizi aşağıdakilerle genişletin:
Sağ üçgende trigonometri
Dikdörtgen Üçgende Metrik İlişkiler
Trigonometri
