bu olasılık teorisi Deneyleri veya rastgele olayları inceleyen ve bu sayede belirli bir olayın meydana gelme şansını analiz etmek mümkün olan Matematik dalıdır.
Olasılığı hesapladığımızda, sonuçları önceden belirlenemeyen olası deney sonuçlarının ortaya çıkacağına dair bir güven derecesi ilişkilendiriyoruz.
Bu şekilde, olasılık hesaplaması, bir sonucun oluşumunu 0 ile 1 arasında değişen bir değerle ilişkilendirir ve sonuç 1'e ne kadar yakınsa, oluşma kesinliği o kadar yüksek olur.
Örneğin, bir kişinin kazanan bir piyango bileti alma olasılığını hesaplayabilir veya bir çiftin tümü erkek olmak üzere 5 çocuğu olma ihtimalini bilebiliriz.
rastgele deney
Rastgele bir deney, gerçekleştirmeden önce hangi sonucun bulunacağını tahmin edemeyen bir deneydir.
Bu tür olaylar aynı koşullar altında tekrarlandığında farklı sonuçlar verebilir ve bu tutarsızlık tesadüflere atfedilir.
Rastgele bir deney örneği, tarafsız bir kalıbı (homojen kütle dağılımına sahip kalıp) yukarı doğru yuvarlamaktır. Düşerken 6 yüzün hangisinin yukarıya bakacağını kesin olarak tahmin etmek mümkün değildir.
Olasılık Formülü
Rastgele bir fenomende, bir olayın meydana gelme şansı eşit derecede olasıdır.
Bu nedenle, belirli bir sonucun meydana gelme olasılığını, olumlu olayların sayısını ve olası sonuçların toplam sayısını bölerek bulabiliriz:
Olmak:
p(A): bir A olayının olma olasılığı
at): bizi ilgilendiren vaka sayısı (a olayı)
n (Ω): olası toplam vaka sayısı
Örnekler
1) Mükemmel bir zar atarsak, 3'ten küçük bir sayının gelme olasılığı nedir?
Çözüm
Mükemmel bir zar olarak, 6 yüzün de yüzü yukarı doğru düşme şansı eşittir. O halde olasılık formülünü uygulayalım.
Bunun için elimizde 6 olası durum (1, 2, 3, 4, 5, 6) olduğunu ve "3'ten küçük bir sayıdan" olayının 2, yani 1 sayısından 2 olasılığı olduğunu dikkate almalıyız. veya 2 numara. Böylece sahibiz:
2) Kart destesi, her renkten 13 kart olmak üzere dört takıma (kupa, labut, karo ve maça) bölünmüş 52 karttan oluşur. Buna göre, rastgele bir kart çekerseniz, kulüp takımından bir kartın çıkma olasılığı nedir?
Çözüm
Rastgele bir kart çekerken bu kartın ne olacağını tahmin edemeyiz. Yani bu rastgele bir deney.
Bu durumda, kart sayısı olası vaka sayısına karşılık gelir ve olumlu olayların sayısını temsil eden 13 kulübümüz vardır.
Bu değerleri olasılık formülünde değiştirerek elimizde:
örnek uzay
mektupla temsil edilir Ω, örnek uzay rastgele bir deneyden elde edilen olası sonuçlar kümesine karşılık gelir.
Örneğin, bir desteden rastgele bir kart alırken, örnek uzay bu desteyi oluşturan 52 karta karşılık gelir.
Benzer şekilde, bir kalıbı bir kez yuvarlarken örnek uzay, onu oluşturan altı yüzdür:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 ve 6}.
Etkinlik Türleri
Olay, rastgele bir deneyin örnek uzayının herhangi bir alt kümesidir.
Bir olay, örnek uzayıyla tam olarak aynı olduğunda, buna denir. doğru olay. Tersine, olay boş olduğunda buna denir. imkansız olay.
Misal
1'den 20'ye kadar numaralandırılmış topların olduğu bir kutumuz olduğunu ve tüm topların kırmızı olduğunu hayal edin.
Kutudaki tüm toplar bu renkte olduğu için "kırmızı top çiz" olayı kesin bir olaydır. Kutudaki en yüksek sayı 20 olduğu için "30'dan büyük bir sayı çiz" olayı imkansızdır.
Kombinatoryal Analiz
Birçok durumda, rastgele bir deneyde olası ve uygun olayların sayısını doğrudan keşfetmek mümkündür.
Ancak bazı problemlerde bu değerleri hesaplamanız gerekecektir. Bu durumda soruda önerilen duruma göre permütasyon, düzenleme ve kombinasyon formüllerini kullanabiliriz.
Konu hakkında daha fazla bilgi edinmek için şu adrese gidin:
- Kombinatoryal Analiz
- Kombinatoryal Analiz Egzersizleri
- Saymanın Temel İlkesi
- permütasyon
Misal
(EsPCEx - 2012) 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarının permütasyonlarından birinin rastgele seçiminde 2 ile bölünebilen bir sayı elde etme olasılığı
Çözüm
Bu durumda olası olay sayısını yani verilen 5 basamağın (n=5) sırasını değiştirerek kaç farklı sayı elde ettiğimizi bulmamız gerekiyor.
Bu durumda, rakamların sırası farklı sayılar oluşturduğundan, permütasyon formülünü kullanacağız. Bu nedenle, elimizde:
Olası olaylar:
Bu nedenle 5 basamakla 120 farklı sayı bulabiliriz.
Olasılığı hesaplamak için, yine de, bu durumda, olumlu olayların sayısını bulmamız gerekir. 2 ile bölünebilen bir sayı bulmaktır, bu sayının son basamağı 2 olduğunda veya 4.
Son pozisyon için sadece bu iki olasılığımız olduğunu düşünürsek, sayıyı oluşturan diğer 4 pozisyonu şu şekilde değiştirmemiz gerekecek:
Olumlu olaylar:
Olasılık aşağıdakileri yaparak bulunur:
sen de oku:
- Pascal üçgeni
- Karışık sayılar
- Enem'de Matematik
Egzersiz çözüldü
1) PUC/RJ - 2013
n ∈ {1, 2, 3, 4} ile a = 2n + 1 ise, sayının olasılığı çift olmak
1'e
b) 0.2
c) 0,5
d) 0.8
e) 0
n'nin olası her değerini a sayısı için ifadeye koyduğumuzda, sonucun her zaman tek bir sayı olacağını fark ederiz.
Bu nedenle, "çift sayı olmak" imkansız bir olaydır. Bu durumda, olasılık sıfıra eşittir.
Alternatif: e) 0
2) UPE - 2013
Bir grup İspanyolca kursunda, Şili'de üç, İspanya'da yedi kişi değişim programı yapmayı planlıyor. Bu on kişiden ikisi yurtdışında eğitim bursu alacak mülakat için seçildi. Seçilen bu iki kişinin Şili'de mübadele yapmayı düşünenler grubuna ait olma olasılığı
İlk olarak, olası durumların sayısını bulalım. 2 kişinin seçimi sıraya bağlı olmadığından, olası vaka sayısını belirlemek için kombinasyon formülünü kullanacağız, yani:
Yani 10 kişilik bir gruptan 2 kişiyi seçmenin 45 yolu var.
Şimdi, olumlu olayların sayısını hesaplamamız gerekiyor, yani çekilen iki kişi Şili'de değiş tokuş yapmak istiyor. Yine kombinasyon formülünü kullanacağız:
Yani Şili'de okumak isteyen 3 kişiden 2'sini seçmenin 3 yolu var.
Bulunan değerler ile istenen olasılığı formülde yerine koyarak hesaplayabiliriz:
alternatif: b)
Bazı ilgili konular hakkında daha fazla bilgi edinin:
- Newton'un iki terimlisi
- Olasılık Alıştırmaları (kolay)
- Olasılık Egzersizleri
- istatistik
- İstatistikler - Alıştırmalar
- Matematik Formülleri
