bu Elips olarak sınıflandırılan düz bir rakamdır konik, Çünkü o bölümünden alınabilir bir planın bir koni içinde. Elips şeklinde düz bir figür bulmak günlük hayatta oldukça yaygındır. Bu yıldızların yörüngeleri elips olduğundan, gezegenlerin Güneş etrafındaki hareketini açıklamak için geniş çapta çalışılmıştır.
bu analitik Geometri dahil olmak üzere cebirsel olarak geometrik şekilleri tanımlamaya çalışan matematik alanıdır: elips derinlemesine incelenir analitik geometride, öğelerini hesaba katan bir denklemle açıklamak mümkündür. Elipsin ana unsurları şunlardır:
ana eksen
küçük eksen
odak mesafesi
F odakları1 ve F2
Elipsi, bu noktaların F odağına olan uzaklıklarının toplamının toplandığı noktalar kümesi olarak tanımlarız.1 ve F'ye odaklanmak için2 her zaman sabittir.
Siz de okuyun: Düz ve mekansal figürler arasındaki farklar nelerdir?
elips nedir?
elips olarak biliyoruz Düzlem ile düzlem arasındaki bölümün oluşturduğu düz şekil koni, Aşağıdaki şekilde:
Elipsi oluşturmak için, senin bilmen gerek
iki odak, F1 ve F2ve ayrıca aşağıdaki resimde A ile temsil edilen elipsin uçlarını birleştiren çizgi olan ana eksenin uzunluğu1 bu2.Ana eksenin uzunluğu 2a'ya eşittir, bu nedenle elips tüm P noktaları tarafından oluşturulan eğridir.Hayır nokta ile ilk odak arasındaki mesafenin toplamı (dPHayırF1) noktadan ikinci odağa olan mesafeyle (dPHayırF2) her zaman sabittir ve 2a'ya eşittir.
dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA1bu2 = 2.
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
Elips Elemanları
Elipsin oluşumunu tam olarak anlamak için, öğelerinin her birini bilmek gerekir. Bunlar odak, merkez, ana eksen ve küçük eksendir. Onlara dayanarak, elipsteki önemli ilişkileri izlemek mümkündür.
Elipsin merkezi O noktası ile gösterilir.
Zaten F noktaları1 ve F2 elips odaklarını temsil eder.
A noktaları1 ve2 elipsin yatay ekseninin uçları ve B noktaları1 ve B2 dikey ekseninin uçlarıdır.
B arasındaki mesafe1 ve B2 2b'ye eşittir (küçük eksendeki elipsin uzunluğu).
A arasındaki mesafe1 ve2 2a'ya eşittir (ana eksen üzerindeki elipsin uzunluğu).
F arasındaki odak uzaklığı1 ve F2 2c'ye eşittir.
Gözlem: F takibinin fark edilmesi önemlidir.1B1 yatay eksenin yarısına eşit bir uzunluğa sahiptir, yani dF1B1 = bir. Böylece A üçgenini incelerken de önemli bir Pisagor ilişkisini algılamak mümkündür.1OB1. Dikkat edin o bir sağ üçgen. Bu nedenle, uygulayabiliriz Pisagor teoremi.
a² = b² + c²
En uzun eksenin dikey eksen olduğu elips için başka bir olasılık daha vardır. Bu durumda, elemanlar aynı kalır.
Bu durumda Pisagor teoremini aşağıdaki gibi uygulayarak da uygulayabiliriz:
b² = a² + c²
Siz de okuyun: Bir çokgenin elemanları nelerdir?
elips denklemi
Elipsin analitik olarak incelenmesi, kartezyen düzlem. Analitik geometri, denklemler aracılığıyla uçak geometrisi. Böylece, şekli sözde elips denklemi ile tanımlamak mümkündür.
İlk olarak, odakları x ekseninde veya y ekseninde bulunan, yani elipsin orijini Kartezyen düzleminin orijini ile çakışan bir elips örnekleri yapacağız.
Bu durumda, ana eksen dikey eksen olduğunda ve ana eksen yatay eksen olduğunda iki olasılık vardır:
Gözlem: Odaklar her zaman en uzun eksende yer alır, dolayısıyla a > b ise odaklar yatay eksende, b > a ise dikey eksende yer alır.
Elipsin merkezi her zaman Kartezyen düzlemin orijininde değildir., bu durum için elips denkleminin geliştirilmesini ve uyarlanmasını engellemez. Elips orijinden ötelendiğinde O( x0, y0), denklemi şu şekilde tanımlanabilir:
Siz de okuyun: Çevrenin indirgenmiş denklemi nedir?
Elips eksantrikliği
Eksantriklik olarak bildiğimizsebep c uzunluğu ile elipsin en uzun ekseninin uzunluğunun yarısı arasında. En uzun eksenin yatay olduğu varsayılarak, eksantriklik şu şekilde hesaplanır:
Elips dikey eksendeyse, eksantriklik şu şekilde hesaplanır:
bu eksantriklik bize elipsin ne kadar düz olduğunu söyler, eksantriklik değeri ne kadar büyük olursa, elips bir daireye o kadar yakın olur. Ana eksenin uzunluğu her zaman odak uzunluğundan daha büyük olduğundan, dolayısıyla c < a olduğundan, bu bölme her zaman 0 ile 1 arasında bir sayıdır.
elips alanı
Elips yuvarlak bir şekle sahip olduğundan, alanını hesaplamak için π sabitini kullanırız ve ayrıca yatay uzunluğun yarısının ve dikey uzunluğun yarısının ölçüsü, yani, Zorundayız:
A = abπ
A: elips uzunluğu
a: yatay eksenin yarısı
b: dikey eksenin uzunluğunun yarısı
Misal:
En uzun ekseni 50 cm ve en küçüğü 36 cm olan odaklar yatay eksende olacak şekilde bir elipsin alanını hesaplayın.
Ana eksen yatay olduğundan, odaklar onun içindedir. Bu nedenle, şunları yapmalıyız:
2. = 50
bir = 50/2
bir = 25
Ve dikey eksende şunları yapmalıyız:
2b = 36
b = 36/2
b = 18
Böylece elipsin alanı şu şekilde verilir:
A = abπ
A = 25 · 18π
A = 450π cm²
çözülmüş alıştırmalar
Soru 1 - Aşağıdaki elipsi analiz ederken, odak uzaklığını içeren alternatif:
A) 5
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3
çözüm
Alternatif E.
Odak uzaklığı 2c'ye eşittir ve ayrıca a = 8 ve b = 6. Odaklar x ekseninde yer aldığı için şunları yapmalıyız:
Odak uzaklığı 2c'ye eşit olduğundan, 2c = 8√3.
Soru 2 - (IFB) Merkezi orijinde, odakları koordinat eksenlerinden biri üzerinde olan ve (5, 0) ve (0, 13) noktalarından geçen bir elips göz önüne alındığında, elipsin odaklarını belirleyin.
a) (13, 0) ve (-13, 0)
b) (0, 13) ve (0, -13)
c) (12, 0) ve (-12, 0)
d) (0, 12) ve (0, -12)
e) (5, 0) ve (-5, 0)
çözüm
alternatif D
b = 13'ü gösteren (0, 13) noktasından geçtiğine ve ayrıca (5.0) a = 5 noktasından geçtiğine dikkat edin. b > a olarak şunları yapmalıyız:
b² = a² + c²
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 – 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12
b daha büyük olduğundan, odak dikey eksendedir, yani (0, 12) ve (0, -12).
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
