at trigonometrik fonksiyonlarfonksiyonlar sinüs, kosinüs ve tanjant. Tüm trigonometrik fonksiyonlar değeri ile ilgilidir açı trigonometrik oranın değeri ile derece veya radyan cinsinden, trigonometrik döngü çalışması yoluyla yapılabilecek bir ilişki. Trigonometrik fonksiyonların her birinin ayrı ayrı incelenmesi ile temsilini yapmak mümkündür. grafiği, diğer özelliklerin yanı sıra her bir kadran için fonksiyonun işaretini inceleyin önemli.
Siz de okuyun: En çok yapılan 4 hata ttemel sertlik
Trigonometrik fonksiyonlar nelerdir?
En yaygın trigonometrik fonksiyonlar sinüs fonksiyonu, kosinüs fonksiyonu ve tanjant fonksiyonudur. Onların çalışması, aşağıdakilerle bağlantılıdır: trigonometrik döngü.
Her açı değeri için tek bir sinüs ve kosinüs değeri vardır. Trigonometrik fonksiyonlar, açı ile o açı için trigonometrik oranın değeri arasındaki ilişki. Bu açının değerinin radyan veya derece cinsinden verilebileceğini ve sinüs ve kosinüs değerinin her zaman bir olduğunu unutmayın. gerçek Numara -1 ile 1 arasında.
Resimde dikkat edin, her açı için kosinüs ve sinüs kabul ederm bir değer. Açı değeri ile trigonometrik oran değeri arasındaki ilişkiyi gözlemlediğimiz trigonometrik fonksiyonların her birinin çalışmasına dayanır.
Siz de okuyun: Dikkat çeken açılar nelerdir?
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
kosinüs fonksiyonu
kosinüs fonksiyonu fonksiyondur f: R → R, oluşum kanunu olan f(x) = cos(x). Bir açının kosinüsü olduğu için her zaman 1 ile -1 arasında bir sayı, sonra -1 ≤ cos (x) ≤ 1.
Alan adı
kosinüs fonksiyonunun tanım kümesidir gerçek sayılar kümesi, çünkü x değerinde bir kısıtlama yoktur, burada x radyan cinsinden açıdır. Her gerçek sayı için cos(x) değerini bulabilirsin, yani Df= A.
resim
Kosinüs fonksiyonunun karşı etki alanının reel sayılar kümesi olduğunu biliyoruz, ancak fonksiyonun görüntüsünü analiz ettiğimizde bunun olduğunu görmek mümkün. her zaman -1'e eşit veya daha büyük ve 1'e eşit veya daha küçük bir değer, trigonometrik döngü yarıçapı 1 olduğundan, kosinüs fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 1'dir ve benzer şekilde alabileceği en küçük değer -1'dir. ben = [-1, 1]
kosinüs fonksiyon grafiği
kosinüs fonksiyonunun grafiğiiçerdiği arasında düzlüklery = -1 ve y = 1. Bunun, fonksiyonun görüntüsünün her zaman -1 ile 1 arasında bir sayı olması ve aşağıda görebileceğimiz gibi artan ve azalan bir kısma sahip olması nedeniyle olduğunu unutmayın:
Açı değerini trigonometrik oran değeri ile eşleştirerek görebilirsiniz. grafik var döngüsel davranış, yani davranış her zaman periyodik olarak kendini tekrar eder. Kosinüs fonksiyonunun grafiği kosinüs olarak bilinir.
sinyal
Trigonometrik döngüde biliyoruz ki, kosinüs pozitif değerlere sahiptirI ve IV kadranlarında. Birinci kadran 0º ile 90º arasındadır ve dördüncü kadran 270º ile 360º arasındadır. Radyan cinsinden, 0 ile π/2 arasındaki ve 3π/2 ile 2π arasındaki x değerleri için fonksiyon pozitiftir.
kosinüs fonksiyonu negatif değerlere sahipII ve III çeyreklerdeyani açı 90º ile 270º arasındadır. Radyan cinsinden, kosinüs fonksiyonunun negatif olması için x, π/2 ile 3π/2 arasındadır.
kosinüs fonksiyon periyodu
kosinüs fonksiyonunun grafiği bir 2π periyodu. Analiz ederek, grafiğin 0 ile 2π aralığında yer aldığını görmek mümkündür. Bu aralıktan önceki veya sonraki değerler için grafik tekrar eder.
parite
kosinüs fonksiyonu olarak kabul edilir eşit işlev, y eksenine göre grafikte simetri olduğu için. Bir fonksiyon çift olarak kabul edildiğinde, f (x) = f (-x), yani cos (x) = cos (-x).
Kosinüs fonksiyonunun dikkat çekici yayları
Ana açılar için kosinüs değerine bakalım:
Ayrıca bakınız: Sekant, kosekant ve kotanjant - sinüs, kosinüs ve tanjantın ters trigonometrik oranları
sinüs fonksiyonu
kosinüs fonksiyonu fonksiyondur f: R → R, oluşum kanunu olan f(x) = günah(x). Bir açının sinüsü gibi, tıpkı kosinüs gibi, her zaman 1 ile -1 arasında bir sayıdır, sonra -1 ≤ günah (x) ≤ 1.
Alan adı
sinüs fonksiyonunun etki alanı gerçek sayılar kümesidir. İşlev f(x) = sin (x) tüm reel sayılar için tanımlanır, yani Df= A.
resim
sinüs fonksiyonu görüntüsü vardır maksimum değer f(x) = 1 ve minimum değerf(x) = -1. Yani fonksiyonun görüntüsü gerçek aralıktır [-1, 1].
sinüs fonksiyon grafiği
sinüs fonksiyonunun grafiği aynı zamanda yatay çizgiler y = -1 ve y = 1 ile sınırlıdır. Davranış, artan aralıklara ve azalan aralıklara sahip olan periyodik sinüs fonksiyonuna benzer. Aşağıdaki Kartezyen düzlemde sinüs fonksiyonunun grafik temsiline bakın:
Sinüs fonksiyonunun grafiği de periyodiktir ve sinüs olarak bilinir.
sinyal
Kosinüs fonksiyonunun aksine, sinüs fonksiyonu pozitif değerlere sahips kadrans I ve II ilki, yani 0° ile 180° arasındaki açılar için. Radyan cinsinden, 0 ile π arasındaki değerler için fonksiyon pozitiftir.
Sinüs fonksiyonu negatif değerlere sahipII'deben ve IV kadransyani açı 180º ile 360º arasındadır. Radyan cinsinden sinüs fonksiyonunun negatif olması için x, π ile 2π arasındadır.
kosinüs fonksiyon periyodu
Sinüs fonksiyonunun grafiği bir 2π periyodu. Bu, 0 ila 2π aralığından sonra veya öncesinde, grafiğin periyodik olduğu, yani kendini tekrarladığı anlamına gelir.
parite
sinüs fonksiyonu olarak kabul edilir Meslek bençift, çünkü grafikte tek kadranların açıortayı ile ilgili simetri var. Bir fonksiyon tek olarak kabul edildiğinde, f (x) = -f (x), yani günah (-x) = -sin (x).
Sinüs fonksiyonunun dikkate değer yayları
Ana açılar için sinüs değerine bakalım:
teğet işlevi
Biz biliyoruz ki tanjant sebep sinüs ve kosinüs arasındadır. Önceki iki trigonometrik fonksiyonun aksine, tanjant fonksiyonunun ne maksimum ne de minimum değeri vardır. Ayrıca, alan için kısıtlamalar vardır, ancak teğet fonksiyonun oluşum yasası şöyledir: f(x) = tan (x).
Alan adı
Tanjant işlevi, sinüs ve kosinüs arasındaki orandan oluştuğu için etki alanı için kısıtlamalara sahiptir. cos (x) = 0 olduğunda tanjant değeri yoktur. 0º'den 360º'ye trigonometrik döngüde tartılan tanjant fonksiyonu, 90º ve 270º açılar için tanımlanmamıştır, çünkü bunlar kosinüsün 0'a eşit olduğu değerlerdir. Bir tam turdan daha büyük açılar olduğunda, kosinüs değeri 0 olan tüm açılar kosinüs fonksiyonunun alanının parçası değildir.
resim
Sinüs fonksiyonu ve kosinüs fonksiyonundan farklı olarak, tanjant fonksiyonunun görüntüsü gerçek sayılar kümesidiryani sınırlı değildir ve maksimum veya minimum değeri yoktur. ben = R
Teğet fonksiyon grafiği
Tanjant işlevi de sinüs ve kosinüs işlevleri gibi periyodiktir, yani her zaman tekrarlanır. karşılaştırdığımızda:
sinyal
teğet işlevi tek kadranlar için pozitif bir değere sahiptir, yani, ben ve III kadranlar. 0º ile 90º arasındaki açılar ve 180º ile 270º arasındaki açılar için fonksiyon pozitif değerlere sahiptir. Radyan cinsinden, x'in değeri 0 ile π/2 veya π ile 3π/2 arasında olmalıdır.
zaman kursu
Tanjant fonksiyonunun periyodu da sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından farklıdır. Ö teğet fonksiyonunun periyodu π.
parite
teğet işlevi é garip bir işlevtan(-x) = -tan (x) olduğundan, grafikte orijine göre simetri vardır. kartezyen düzlem.
Teğet fonksiyonunun dikkat çekici yayları
Ana açıların teğet değerine bakalım:
Ayrıca bakınız: Bütünler açıların sinüs ve kosinüsü nasıl bulunur?
çözülmüş alıştırmalar
Soru 1 - (Enem 2017) Güneş ışınları bir gölün yüzeyine ulaşıyor ve şekilde gösterildiği gibi yüzeyiyle x açısı oluşturuyor.
Belirli koşullar altında, bu ışınların göl yüzeyindeki ışık yoğunluğunun, yaklaşık olarak I(x) = k · sin(x) ile verilebilir, k bir sabittir ve X'in 0° ile 0° arasında olduğu varsayılır. 90º.
x = 30º olduğunda, ışık şiddeti maksimum değerinin yüzde kaçına düşürülür?
A) %33
B) %50
C) %57
D) %70
E) %86
çözüm
alternatif B
0º ile 90º aralığında, sinüs fonksiyonu x = 90º olduğunda en yüksek değerine sahiptir, bu nedenle şunları yapmalıyız:
ben = k · günah (90º)
ben = k · 1
ben = k
Şimdi, x = 30º olduğunda, şunu yapmalıyız:
i = k · olmadan (30.)
ben = k · 1/2
ben = k/2
i yoğunluğunun yarı yarıya, yani %50 azaldığına dikkat edin.
Soru 2 - (Enem 2015) Brezilya Coğrafya ve İstatistik Enstitüsü'ne (IBGE) göre mevsimlik ürünler, iyi tanımlanmış üretim, tüketim ve fiyat döngüleri sunan ürünlerdir. Kısacası, perakende pazarlarında bulunabilirliğinin kıt olduğu yılın zamanları vardır, yüksek fiyatlar ile, bazen bol, daha düşük fiyatlar ile, en fazla üretimin yapıldığı ayda meydana gelir. hasat. Tarihsel bir diziden, belirli bir mevsimlik ürünün kilogramının real olarak P fiyatının şu fonksiyonla tanımlanabileceği gözlemlenmiştir:
Burada x yılın ayını temsil eder, burada x = 1 Ocak ayı ile ilişkilidir, x = 2 Şubat ayı ile vb., x = 12'ye kadar Aralık ayı ile ilişkilendirilir.
Hasatta, bu ürünün maksimum üretim ayıdır.
A) Ocak.
B) Nisan.
C) Haziran.
D) Temmuz.
E) Ekim.
çözüm
alternatif D
Hasat, fiyat en düşük olduğunda maksimum üretimi kabul eder, kosinüs fonksiyonunun cos(x) = -1 olduğunda minimum değerini aldığını biliyoruz.
cos değeri -1 olan açı π açısıdır. Yani açı argümanı π'ye eşit olmalı, bu yüzden şunu yapmalıyız:
7. Ay Temmuz ayıdır.
Raul Rodrigues de Oliveira
Matematik öğretmeni
