bu cebirsel ifade çarpanlarına ayırma cebirsel bir ifade yazmaktan ibarettir. Ürün formu. Pratik durumlarda, yani aşağıdakileri içeren bazı problemlerin çözümünde cebirsel ifadeler, çarpanlara ayırma son derece yararlıdır çünkü çoğu durumda çalışılan ifadeyi basitleştirir.
Cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırmak için matematikte çok önemli bir sonucu kullanacağız. aritmetiğin temel teoremi, 1'den büyük herhangi bir tam sayının çarpımı olarak yazılabileceğini belirten asal sayılar, Bak:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Az önce 121 ve 60 sayılarını çarpanlarına ayırdık.
sen de oku: Bir sayının asal çarpanlara ayrılması
Cebirsel İfadeleri Çarpanlara Ayırma Yöntemleri
Şimdi ana çarpanlara ayırma yöntemlerini göreceğiz, en çok kullanılanlar kısa bir geometrik gerekçelendirme yapacağız. Bak:
Kanıt faktoringi
Dikdörtgeni düşünün:
unutmayın ki dikdörtgen mavi artı yeşil dikdörtgenin alanı daha büyük dikdörtgenle sonuçlanır. Bu alanların her birine bakalım:
buMAVİ = b · x
buYEŞİL = b · y
buDAHA BÜYÜK = b · (x + y)
Öyleyse, yapmalıyız:
buDAHA BÜYÜK = birMAVİ + BirYEŞİL
b (x + y) = bx + ile
Örnekler
) İfadeyi çarpanlara ayırmak için: 12x + 24y.
12'nin kanıttaki faktör olduğuna dikkat edin, çünkü her iki parselde de görünür, bu nedenle parantez içindeki sayıları belirlemek için, sadece Paylaş kanıt faktörü tarafından her parsel.
12x: 12 = x
24y: 12 = 2 yıl
12x + 24y = 12 · (x + 2 yıl)
B) 21ab ifadesini çarpanlarına ayırın2 – 70.2B.
Aynı şekilde öncelikle delildeki faktör yani parsellerde tekrar eden faktör belirlenir. Bakınız, elimizdeki sayısal kısımdan 7 iki sayıyı da bölen tek sayı olduğu için ortak bölendir. Şimdi, gerçek kısımla ilgili olarak, sadece faktörün tekrarlandığını görün. ab, bu nedenle, kanıttaki faktör: 7ab.
21ab2 – 70.2b = 7ab (3b - 10)
sen de oku: Polinom bölünmesi: nasıl yapılır?
Gruplandırmaya göre faktoring
Gruplandırma ile çarpanlara ayırma, delile dayalı faktoringden kaynaklanan, tek fark, ortak bir faktör veya kanıtta bir faktör olarak bir monomiyuma sahip olmak yerine, bir monomiyuma sahip olacağımızdır. polinom, örneğe bakın:
(a + b) · xy + (a + b) · wz ifadesini düşünün2
Ortak faktörün binom olduğuna dikkat edin. (a + b),bu nedenle, önceki ifadenin çarpanlarına ayrılmış biçimi şöyledir:
(a + b) · (xy + wz2)
Şimdi durma... Reklamdan sonra devamı var ;)
iki kare arasındaki fark
elimizde a ve b olmak üzere iki sayı düşünelim. fark bu sayıların karesinin, yani2 -B2, böylece onları olarak yazabiliriz fark toplamının çarpımı, yani:
2 -B2 = (a + b) · (a - b)
Örnekler
) x ifadesini çarpanlarına ayırmak için2 -y2.
İki kare arasındaki farkı kullanabiliriz, böylece:
x2 -y2 = (x + y) · (x - y)
B) 2020'yi çarpanlara ayırmak2 – 2.0192.
İki kare arasındaki farkı kullanabiliriz, böylece:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Tam karenin üç terimi
Yandaki (a + b) kareyi alın ve içinde oluşan kare ve dikdörtgenlerin alanlarını not edin.
alanına bakın Meydan daha büyük (a + b) ile verilir2, ancak diğer yandan, en büyük karenin alanı, içine kareler ve dikdörtgenler eklenerek şu şekilde elde edilebilir:
(a + b)2 =2+ ab + ab + b2
(a + b)2 =2+ 2b + b2
(a + b)2 =2 + 2ab + b2
Benzer şekilde, yapmalıyız:
(a - b)2 =2 – 2ab + b2
Misal
x ifadesini düşünün2 + 12x + 36.
Bu tür bir ifadeyi çarpanlara ayırmak için, sadece x değişkeninin katsayısını ve bağımsız katsayıyı belirleyin ve verilen formülle karşılaştırın, bakınız:
x2 + 12x + 36
2 + 2ab + b2
Karşılaştırmaları yaparak, x = a, 2b = 12 ve b'ye bakın.2 = 36; eşitliklerden b = 6'ya sahibiz, yani çarpanlara ayrılmış ifade:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
lise üç terimli
Balta üç terimini düşünün2 + bx + c. Faktörlü şekli kullanılarak bulunabilir köklerinyani, o ifadeyi sıfırlayan x değerleri. Bu ifadeyi sıfır yapan değerleri belirlemek için denklemi ax'ı çözmeniz yeterlidir.2 + bx + c = 0 uygun bulduğunuz yöntemi kullanarak. Burada en iyi bilinen yöntemi vurgularız: Bhaskara yöntemi.
balta üç terimlinin çarpanlara ayrılmış formu2 + bx + c:
balta2 + bx + c = a · (x – x1) · (x - x2)
Misal
x ifadesini düşünün2 + x – 20.
İlk adım, x denkleminin köklerini belirlemektir.2 + x – 20 = 0.
Yani x ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali2 + x – 20:
(x – 4) · (x + 5)
İki sayı arasındaki farkın küpü
a ve b sayıları arasındaki farkın küpü şu şekilde bulunur:
(a - b)3 = (a – b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2)
İki sayının toplamının küpü
Benzer şekilde, elimizdeki (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , yakında:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
çözülmüş alıştırmalar
soru 1 – (Cefet-MG) n = 684 sayısı2 – 6832, n'nin rakamlarının toplamı:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
çözüm
Alternatif d. n'nin rakamlarının toplamını belirlemek için önce ifadeyi çarpanlarına ayırıyoruz, çünkü kareleri hesaplamak ve sonra çıkarmak gereksiz bir iş. İki kare arasındaki farkı kullanarak ifadeyi çarpanlara ayırarak şunları elde ederiz:
sayı = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1.367 · 1
n = 1.367
Bu nedenle, n'nin rakamları toplamı 1 + 3 + 6 + 7 = 17 ile verilir.
Soru 2 - (Değiştirilmiş Insper-SP) Şu ifadenin değerini belirleyin:
çözüm
Gösterimi kolaylaştırmak için a = 2009 ve b = 2 olarak adlandıralım. bunu hatırla 22 = 4, bu yüzden şunları yapmalıyız:
Kesrin payında iki kare arasındaki farka sahip olduğumuza dikkat edin, böylece şunu yazabiliriz.2 -B2 = (a + b) (a – b). Yakında:
a – b = 2009 – 2 = 2007.
Robson Luiz tarafından
Matematik öğretmeni
