O Argand-Gauss plan den består av två axlar: en vertikal (känd som den imaginära axeln) och en horisontell (känd som den verkliga axeln). Det är möjligt representerar geometriskt komplexa talsom är i algebraisk form.
Genom denna geometriska representation är det möjligt utveckla några begrepp, till exempel modulen och argumentet av ett komplext antal. Komplexa tal representeras algebraiskt av z = a + bi, så de representeras av punkter (a, b), som kallas en affix.
Läs också: Geometrisk representation av summan av komplexa tal
Geometrisk representation av komplexa tal
Det komplexa planet, även känt som Argand-Gauss-planet, är inget annat än ettKartesiskt plan för komplexa nummer. I Argand-Gauss-planet är det möjligt att representera ett komplext tal som en punkt, känd som en fästning. Med utvecklingen av den komplexa planen finns det utveckling av analytisk geometri för komplexa nummer, vilket gör det möjligt att utveckla viktiga begrepp som modul och argument.
Ett komplext tal representerat i dess algebraiska form är z = a + bi, på vad De är den verkliga delen och B är den imaginära delen. Därför, komplexa tal representeras som en punkt (a, b). I Argand-Gauss-planet är den horisontella axeln den verkliga delens axel och den vertikala axeln är den imaginära delens axel.
Affix
O punkt på planet som representerar ett komplext tal det kallas också ett anbringande. Det finns tre möjliga fall av representation: imaginära anbringningar, verkliga anbringningar och rena imaginära anbringningar.
imaginära anbringningar
En anbringning är känd som imaginär när det komplexa numret har både a verklig del och imaginär del icke-noll. I detta fall är anbringningen en punkt i någon av de fyra kvadranten, beroende på värdena på a, b och deras respektive tecken.
Exempel:
Se representationen av komplexa tal z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i och z4= 1-4i.
Se också: Egenskaper som involverar komplexa siffror
rena imaginära anbringningar
Ett komplext tal är känt som en ren imaginär, när din verkliga del är lika med noll, det vill säga z = bi. Observera att i detta fall är den första koordinaten alltid noll, så låt oss arbeta med punkter av typen (0, b). När du markerar i Argand-Gauss-planet, alltid en ren imaginär anbringning kommer att vara en punkt som tillhör den imaginära axeln, det vill säga till den vertikala axeln.
Exempel:
Se representationen av komplexa tal z1 = 2i och z2= -3i.
riktiga anbringningar
Ett komplext nummer klassificeras som a riktigt nummernär din imaginär del är lika med noll, det vill säga z = a. I det här fallet är den andra koordinaten alltid noll, så vi kommer att arbeta med punkter av typen (a, 0), så den imaginära delen är noll och anbringningarna finns i komplexets reala axel.
Exempel:
Se representationen av komplexa tal z1 = 2 och z2 = -4.
Komplex nummermodul
När P representerar ett komplext tal, låt P (a, b) vara det komplexa antalet z = a + bi. Vi känner till modulen för det komplexa talet a avstånd från punkt P till ursprung. Modulen för ett komplext tal z representeras av | z |. För att hitta värdet på | z | använder vi Pythagoras sats.
| z | ² = a² + b²
Vi kan också representera genom:
Exempel:
Beräkna modulen för det komplexa talet z = 12 -5i.
| z | ² = 12² + (-5) ²
| z | ² 144 + 25
| z | ² = 169
| z | = √169
| z | = 13
Också tillgång: Vad är rationella tal?
komplexa talargument
Vi vet hur argument av ett komplext antal O vinkel θ bildad av vektorn OP och den verkliga axeln. Argumentet för ett tal representeras av arg (z) = θ.
För att hitta vinkeln använder vi trigonometriska förhållanden sinus och cosinus.
Att hitta argumentets värde, att känna till sinus och cosinus, bara se värdetabellen för dessa trigonometriska förhållanden. Vanligtvis vid högskolans inträdesprov om detta ämne är argumentet ett anmärkningsvinkel.
Exempel:
Hitta argumentet för komplexa nummer z = 1 + i.
Låt oss först beräkna z-modulen.
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 2
| z | = √2
Genom att veta | z | kan vi beräkna sinus och cosinus av vinkeln.
Vinkeln som har sinus och cosinus med de hittade värdena är 45º.
lösta övningar
Fråga 1 - Vad är argumentet för det komplexa talet z = √3 + i?
A) 30: e
B) 45: e
C) 60: e
D) 90º
E) 120: e
Upplösning
Alternativ C.
Vi vet att a = √3 och b = 1, så:
Fråga 2 - I följande komplexa plan har några siffror representerats. När vi analyserar planen kan vi säga att punkterna är representationer av rena imaginära tal:
A) M, N och I.
B) P och I.
C) L och G.
D) O, I, G.
E) K, J och L.
Upplösning
Alternativ B.
För att identifiera ett rent imaginärt tal i det komplexa planet är det nödvändigt att det ligger ovanpå den vertikala axeln, som i detta fall är punkterna P och I.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Mattelärare
Källa: Brazil School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm